Представление чисел в формате с фиксированной запятой Изучаемые вопросы: Представление целых чисел в памяти компьютера. Представление отрицательных чисел в памяти компьютера. Размер ячейки и диапазон значений чисел. Особенности работы компьютера с целыми числами. 23 ноября

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ В ФОРМАТЕ С ФИКСИРОВАННОЙ ЗАПЯТОЙ Целые числа в компьютере хранятся в памяти в формате с фиксированной запятой. При хранении чисел в памяти в формате с фиксированной запятой каждому разряду ячейки памяти соответствует всегда один и тот же разряд числа, а запятая находится справа после младшего разряда, т.е. вне разрядной сетки. Достоинства: простота и наглядность представления чисел; простота алгоритмов реализации арифметических операций (вычитание заменяется сложением). Недостаток: конечный диапазон представления величин, недостаточный для решения задач, в которых используются очень малые и/или очень большие числа =1010 2

ЦЕЛЫЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА Для хранения целых неотрицательных чисел отводится одна ячейка памяти (8 битов). Минимальное число: Максимальное число: Для n-разрядного представления максимальное целое неотрицательное число равно 2 n – 1. Минимальное число равно 0. Максимальное число равно = = 2 8 – 1 = Диапазон изменения целых неотрицательных чисел от 0 до

ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА СО ЗНАКОМ Представление в компьютере положительных чисел с использованием формата «знак-величина» называется прямым кодом числа. Старший (левый) разряд отводится под знак числа: 0 – положительное число, 1 – отрицательное число. Для хранения целых чисел со знаком отводится две ячейки памяти (16 битов). Для хранения больших целых чисел со знаком отводится четыре ячейки памяти (32 бита)

ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА СО ЗНАКОМ Для n-разрядного представления со знаком (с учетом выделения одного разряда на знак): максимальное положительное число равно 2 n-1 – 1, минимальное отрицательное число равно – 2 n-1 Диапазон хранения целых чисел со знаком от – до Диапазон хранения больших целых чисел со знаком от – до А 10 = 2 15 – 1 = А 10 = – 2 15 = – А 10 = 2 31 – 1 = А 10 = – 2 31 = –

ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА СО ЗНАКОМ 3 +(-3) =

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ КОД Для представления отрицательных чисел используется дополнительный код, позволяющий заменить арифметическую операцию вычитания операцией сложения. Дополнительный код представляет собой дополнение модуля числа А до 0. Дополнительный код отрицательного числа А, хранящегося в n ячейках, равен 2 n - |А|. Это равенство тождественно справедливо, так как в компьютерной n-разрядной арифметике 2 n 0. Действительно, двоичная запись числа 2 n состоит из одной единицы и n нулей, а в n-разрядную ячейку может уместиться только n младших разрядов, т.е. n нулей. 2 8 = n - |А| + |А| = 0

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ КОД Найдём дополнительный код отрицательного числа – при n=16: 2n2n 2 16 = |А||А| = n - |А| | |= n - |А| |А||А| 1 2 n - |А| + |А| = 0 2 n - |А|

АЛГОРИТМ ПОЛУЧЕНИЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО КОДА Алгоритм получения дополнительного кода отрицательного числа: 1.Модуль числа записать прямым кодом в n двоичных разрядах. 2.Получить обратный код числа, для этого значения всех битов инвертировать. 3.К полученному обратному коду прибавить единицу. Прямой код | | Обратный кодИнвертирование Прибавление единицы Дополнительный код Найдём дополнительный код отрицательного числа – при n=16: +

ВЫПОЛНЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКОГО ДЕЙСТВИЯ Выполнить арифметическое действие – в 16-разрядном компьютерном представлении Десятичное число Прямой кодОбратный кодДополнительный код – Дополнительный код

ПЕРЕВОД ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО КОДА В ДЕСЯТИЧНОЕ ЧИСЛО В 16-разрядном компьютерном представлении – Переведем полученный дополнительный код в десятичное число: 1. Инвертируем дополнительный код: К полученному коду прибавим 1 (получим модуль отрицательного числа): Переведем в десятичное число и припишем знак отрицательного числа: -10

ПЕРЕВОД ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО КОДА В ДЕСЯТИЧНОЕ ЧИСЛО В 16-разрядном компьютерном представлении – Переведем полученный дополнительный код в десятичное число: 1. Отнимем 1 от дополнительного кода: Инвертируем полученное число: Переведем в десятичное число и припишем знак отрицательного числа: -10 Почему не применяется данный метод перевода дополнительного кода в десятичное число?

ПРАКТИКУМ Задача. Найти минимальное отрицательное число в 8-разрядном компьютерном представлении Переведем дополнительный код в десятичное число: 1.Инвертируем дополнительный код: К полученному коду прибавим 1 (получим модуль отрицательного числа): Переведем в десятичное число и припишем знак отрицательного числа: -128 Для n-разрядного представления со знаком минимальное отрицательное число равно –2 n-1

ПРАКТИКУМ Задача. Найти максимальное отрицательное число в 8-разрядном компьютерном представлении Переведем дополнительный код в десятичное число: 1.Инвертируем дополнительный код: К полученному коду прибавим 1 (получим модуль отрицательного числа): Переведем в десятичное число и припишем знак отрицательного числа: -1

Выполняя на компьютере вычисления с целыми числами, нужно помнить об ограниченности диапазона допустимых значений. Выход результата за границы допустимого диапазона называется переполнением. Переполнение при вычислениях с целыми числами не вызывает прерывания работы процессора, но результаты могут оказаться неправильными. ОСОБЕННОСТИ РАБОТЫ С ЦЕЛЫМИ ЧИСЛАМИ

ПРАКТИКУМ Задача. Компьютер работает только с целыми числами, представленными в однобайтовой ячейке памяти. Какое значение будет получено в результате вычисления значения арифметического выражения ? Переведем в десятичное число и припишем знак отрицательного числа: Решение: Внутреннее представление числа 100: Внутреннее представление числа 39: Внутреннее представление суммы : Знаковый разряд равен 1, значит число отрицательное. Инвертируем код: Прибавим 1: Переполнение привело к неправильному результату!

ПРАКТИКУМ 1. Записать внутреннее представление следующих десятичных чисел, используя 8-разрядную ячейку:а) 64 б) -120 в) -96 г) 57 используя 16-разрядную ячейку:а) б) 6524 в) Определите, каким десятичным числам соответствуют следующие двоичные коды 8-разрядного представления целых чисел: а) б) в) г)

ЗАДАНИЕ НА ДОМ Учить: § (с ) Выполнить: 2.14 (с.147) и 2.15 (с.148)