Государственное учреждение образования: «Гимназия г. Светлогорска» Построения сечений многогранников Ученика 11 "Б" класса ГУО "Гимназия г. Светлогорска" Белого Сергея Владимировича Руководитель – учитель математики ГУО "Гимназия г. Светлогорска" Зинченко Жанна Арсеньевна г. Светлогорск 2008г

Введение: Во многих задачах, связанных с построениями на изображениях пространственных фигур, приходится выполнять построение сечений этих фигур плоскостями. Одним из эффективных методов решения задач на построение сечений многогранников и некоторых других позиционных задач является так называемый аксиоматический метод, разновидностями которого являются м мм метод следов и м мм метод вспомогательных сечений.

Метод следов

Метод следов Если плоскость α пересекает плоскость β по прямой s, то прямую s называют с сс следом плоскости α на плоскость β. Ясно, что прямая s является также следом плоскости β на плоскости α. В общем случае секущая плоскость пересекает плоскость каждой грани многогранника, а также плоскость любого другого сечения многогранника. Прямую, по которой секущая плоскость пересекает плоскость какой-либо грани многогранника, называют с сс следом секущей плоскости на плоскости этой грани, а отрезок следа, лежащий непосредственно в грани многогранника, называют следом секущей плоскости этой грани.

Задача 1 В A D С M P R В гранях МАВ, МАD и МВС пирамиды МАВСD заданы соответственно точки P,Q и R. Постройте сечение пирамиды плоскостью PQR. P1P1P1P1 R1R1R1R1 РЕШЕНИЕ: 1 Строим проекции точек P, R, Q на плоскость ABC P 1, R 1, Q 1 2 Соединяем точки P1Q1, PQ, R1Q1, RQ; соединяем точки их пересечений и продляем их до пересечения с прямой АВ Х1Х1Х1Х1 3 Соединяем точки Х2R, Х2R МА=К, Х2R МВ=L, соединяем т т. L и т. Р, LP МC=T, KQ AD=W, WOIIXX1, TO; получаем искомое сечение KLTOW Х Х2Х2Х2Х2 K T O L W Q1Q1Q1Q1 Q

Метод вспомогательных сечений

Метод вспомогательных сечений Этот метод является универсальным и имеет определённые преимущества по сравнению с методом следов в тех случаях, когда нужный след секущей плоскости оказывается за пределами чертежа

Задача 2 На ребре D 1 E 1 и в грани AВВ 1 А 1 призмы АBCDEA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 заданы соответственно точки P и Q и вне призмы задана точка R. Построить сечение призмы плоскостью PRQ. А D C B B1B1B1B1 C1C1C1C1 D1D1D1D1 E E1E1E1E1 P Q РЕШЕНИЕ: Строим точки P1, R1 и Q1 – проекции точек P, R, Q на плоскость АВС P1P1P1P1 Q1Q1Q1Q1 R1R1R1R1 Строим вспомогательные плоскости PP1Q и BRR1 KK1 - пересечение плоскостей; PQ KK1=K2; K1K1K1K1 В2В2В2В2 А2А2А2А2 V R F E2E2E2E2 A1A1A1A1 K2K2K2K2 Q2Q2Q2Q2 K RK2 (AA1E)=F; RK2 BB1=B2; В2Q AA1=A2; A2B2 A1B1=X1; X1P B1C1=V; A2F EE1=E2; получаем искомое сечение A2B2VPE2

Построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости

Задача 3 На ребре AD призмы ABCDA1B1C1D1 задана точка P, на прямой СС1 – точка Q, такая, что точка С1 лежит между точками С и Q, а на прямой ВВ1 задана точка R. Постройте сечение призмы плоскостью, параллельной плоскости PRQ и проходящей через точку В1 Q R P РЕШЕНИЕ: 1. Соединяем точки Q и R, QR BC=X1, X1P, X1P DC=X2, X2Q, строим сечение призмы плоскостью PRQ 2. И И И Из точки В1 проводим прямые, параллельные прямым плоскости PRQ, получаем искомое сечение B1KLMN L M N K

Построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельно другой заданной прямой

Построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельно другой заданной прямой Пусть требуется построить сечение многогранника плоскостью, проходящей через заданную прямую k параллельно заданной прямой m. В общем случае можно рекомендовать следующий план решения этой задачи: 1)Ч ерез прямую m и какую-нибудь точку прямой k проведем плоскость 2)В этой плоскости через уже выбранную на прямой k точку проведём прямую m1m. 3) П ересекающимися прямыми k и m1 определяется плоскость искомого сечения. Построим его. В некоторых случаях особенности конкретной задачи позволяют найти более короткое решение

S2S2S2S2Q Задача 4 На ребре АА1 треугольной призмы ABCA1B1C1 задана точка Р, а в грани АВС – точка Q. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через прямую B1Q параллельно прямой ВР. А B C C1C1C1C1 B1B1B1B1 А1А1А1А1 Р Р РР РЕШЕНИЕ: Через прямую ВР и точку Q проведем плоскость. Основным следом этой плоскости является прямая BQ. BQ пересекает АС в точке К. К L L1L1L1L1 В плоскости ВРК через точку Q проведём прямую QL//BP. Прямыми B1Q и QL определяется плоскость искомого сечения. Для построения этого сечения строим точку S1, в которой пересекаются прямые B1L и BL1, где точка L1 – это проекция точки L на плоскость АВС, LL1//AA1, S1Q – основной след секущей плоскости. Искомое сечение B1DS2S3 S3S3S3S3 D S1S1S1S1

Построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым

Задача 5 На рёбрах AA1, CC1 и CD призмы ABCDA1B1C1D1 заданы соответственно точки К, Р и Q. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через точку К параллельно прямым AQ и DP. А В1В1В1В1 С С1С1С1С1 D В Q P В плоскости CDD1 через точку Q проведём прямую QC2//DP. Пересекающимися прямыми AQ и QC2 определяется плоскость AQC2, параллельная прямым AQ и DP, -- плоскость вспомогательного сечения. Сечение AQC2VT. С2С2С2С2 V T Искомое сечение проходит через точку К параллельно AQC2. В плоскости АВВ1 через точку К КТ1//АТ. В плоскости А1В1С1 через точку Т1 -- T1V1//TV. В плоскости ВСС1 через V1 прямая V1C3//VC2, в плоскости CDD1 через С3 C3D2//DP, в плоскости АВС через D2 A2D2//AQ. Искомое сечение A2KT1V1C3D2. T1T1T1T1 V1V1V1V1 С3С3С3С3 D2D2D2D2 А2А2А2А2 D1D1D1D1 А1А1А1А1 K РЕШЕНИЕ:

Построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную прямую перпендикулярно заданной плоскости

Задача 6 На ребре CD правильной пирамиды MABCD, высота которой равна половине диагонали её основания, взята точка Е – середина этого ребра и через точки М, В и Е проведена секущая плоскость α. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую BD перпендикулярно плоскости α. АА В В С С D E M E DQ O Q N F N O РЕШЕНИЕ: Опустим перпендикуляр из точки О на плоскость α. F α Q P F N M O P Строим ОРMF V Соединяем ВР, VD, искомое сечение BVD

Построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой

Задача 7 В основании пирамиды SABCD лежит квадрат. Её боковое ребро SС перпендикулярно плоскости основания и равно стороне основания. На медиане DF боковой грани SCD взята точка Р. Постройте сечение пирамиды плоскостью, перпендикулярной прямой DF и проходящей через точку Р. АD C S B S0S0S0S0 C0C0C0C0 D0D0D0D0 РЕШЕНИЕ: F Р 1. Через точку Р проведём прямую МNDF M0M0M0M0 F0F0F0F0 N0N0N0N0 P0P0P0P0 M N 2. Через точку М проведём прямую LM(ABC). Через точку N проведём прямую KN(ABC) L K 3. Соединяем точки K и L, искомое сечение KLMN