ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ (их преодоление – смена понятий) СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ (двумерные и одномерные) Годунов С.К. 1

Линейные преобразования описываются матрицами При линейном преобразовании плоскости единичная окружность переходит в эллипс. Длина наибольшего радиус-вектора этого эллипса называется нормой линейного преобразования, описываемого матрицей А 2

Обобщение: символически Норма линейного преобразования А Связь между векторами может быть записана в виде - матрица обратная к А (матрица обратного линейного преобразования) 3

Для того, чтобы надежно определялось решение системы линейных уравнений с квадратной матрицей нужно, чтобы число было не очень большим. число обусловленности Справедливо неравенство Число обусловленности возмущенной матрицы близко кесли Решая систему с хорошо обусловленной матрицей можно не опасаться ошибок округления из-за которых вместо будет использованы возмущенныес малыми 4

В основу вычислительной линейной алгебры естественно положить Постулат: Только такие числовые функцииот матрицы можно вычислять, для которых справедливо неравенство в котором- известная функция При этом условии, знаяи точность можно дать гарантированную оценку точности для вычисленной Пример вычислимой функции - число обусловленности матрицы где если Хорошо известны алгоритмы решения системы линейных уравнений, при выполнении которых одновременно с решением вычисляется 5

Совсем по другому обстоит дело в другой алгебраической задаче о вычислении собственных значений (т. е. корней характеристического уравнения) 1) Исследование «устойчивости» решений дифференциальных уравнений Вопрос: для всех ли решений справедливо утверждение Критерий устойчивости: для всех собственных значений ? Приложения собственных значений ! 6

2) Сходится ли итерационный процесс к решению системы ? Критерий сходимости: 3) Существует ли убывающее решение системы дифференциальных уравнений (в предположении, что Критерий: такое решение существует, если 1) Исследование «устойчивости» решений дифференциальных уравнений Вопрос: для всех ли решений справедливо утверждение Критерий устойчивости: для всех собственных значений ? ) (т.е. на мнимой оси нет точек спектра ) ! ! ! 7

Пример исследования устойчивости ? При т.е. устойчивость имеет место При устойчивости нет !!! 8

M -- оценка амплитуды L -- характерное время (декремент затухания) Типичное поведение затухающих решений При в оценке решения Можно ли это считать устойчивостью? 9

Теорема Островского (о непрерывной зависимости ) Если все элементы матрицыи матрицы подчинены неравенствам то для каждого найдется такое что В нашем случае Пример теореме Островского не противоречит. Формальная непрерывность имеет место. 10

Определение-спектра принадлежит -спектру, если Спектральный портрет матрицы A 11

12

13

14

15

16

-3,5 3,5 -3,5 3,5 17

Еще один поучительный пример: 18

Эксперимент:Эксперимент: Собственные числа матрицы С найденные с использованием пакета MATLAB С и C T должны иметь одинаковые собственные значения!!! НО видно, что результаты сильно отличаются 19

В действительности Точные значения : ВСЕ собственные значения вычисленные при помощи пакета MATLAB являются точными точками спектра матрицы С, при Этот ε-спектр покрывает круг 20

1) исследование «устойчивости» решений дифференциальных уравнений Вопрос: для всех ли решений справедливо утверждение Критерий устойчивости: ? Универсальная оценка Н -- матрица Ляпунова – решения матричного уравнения 2) Сходится ли итерационный процесс к решению системы ? Критерий сходимости: Н -- матрица Ляпунова – решения матричного уравнения Исследование устойчивости (по Ляпунову) 21

Дихотомия спектра замкнутыми контурами. Расслоение спектра Собственное значение матрицы внутри контура внутри вне матрица (у нас ) матрица – проектор на инв. подпространство с внутри классические сво-ва проектора 22

Дихотомия спектра замкнутыми контурами. Расслоение спектра Собственное значение матрицы внутри контура внутри вне классические сво-ва проектора интеграл сходится, если на нет точек спектра т.е. осуществляет дихотомию спектра Критерий дихотомиигде Интеграл расходится, если на лежит хотя бы одна точка спектра 23 Проектор

При сходится Пояснение смысла критерия дихотомии 24

Круговая дихотомия спектра окружностью..... проектор на инвариантное подпространство, где критерий дихотомии спектра окружностью Матричные уравнения, которые используются для расчета Важное неравенство Если всето и уравнения сводятся к одному равенству дискретное уравнение Ляпунова !! 25

Дихотомия спектра матрицы мнимой осью Критерий дихотомии проектор на инв. для подпространство Матричные уравнения Если все собственные числа лежат в левой полуплоскости то и уравнения сводятся к классическому уравнению Ляпунова 26 !!

a Спектральные зоны – полосы содержащие точки спектра Одномерный спектральный портрет 27 Теорема (о непрерывности): Если то, числовая функция от матрицы критерий дихотомии спектрапрямой

Годунов С. К., Кирилюк О.П., Костин В.И. Спектральные портреты матриц. Ново- сибирск, (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т мат-ки; 3). Godunov S.K. Spectral portaits of matrices and criteria of spectral dichotomy. J. Herrber- ger and L. Atanasovaeds. Proc. Cont. Oldenburg, Germany (Oct., 1991) North-Holland and JMACS p. Малышев А.Н. Введение в вычислительную линейную алгебру. Новосибирск: На- ука, Малышев А.Н. Гарантированная точность в спектральных задачах линейной алгеб- ры // Тр. Ин-та математики / АН СССР. Сиб. отд-ние Т. 17. С Godunov S.K., Sdkane M. Some new algorithms for the spectral dichotomy methods. Linear Algebra. Appl.,

Конец вводной части «Парадоксы вычислительной математики и их преодоление сменой понятий. Критерии дихотомии. Двумерные и одномерные спектральные портреты» 29

Примеры использования одномерных спектральных портретов при исследовании устойчивости 30

APPLICATION OF NEW MATHEMATICAL TOOL ONE-DIMENTIONAL SPECTRAL PORTRAITS OF MATRIX TO THE PROBLEM OF AEROELASTICITY VIBRATION Godunov S.KNovosibirsk Kurzin V.B. Novosibirsk Bunkov V.G.Jukovskii Sadkane M.Brest (France) Из доклада, прочитанного на конференции по аэроупругости (Москва, октябрь 2006) 31

The simple flatter model Without the aerodynamic effect: Modeling of aerodynamic effects (v is the flow velocity) 32

33

The same example V 34

SIMULTANEOUSLY spectral portraitsInvariants Subspaces corresponding to clusters of eigenvalues are computed SIMULTANEOUSLY with the spectral portraits and we can compute the block-diagonal form of A and the orthonormal bases in the invariants subspaces. is the similar transformation (v=411) 36

Спасибо за внимание !