Л АБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 Тема: Численное интегрирование Тема: Численное интегрирование

1. П ОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Пусть – вещественная функция, определенная на интервале, для которой существует интеграл. Под численным интегрированием понимают нахождение приближенного значения этого интеграла. Во многих случаях к приближенным методам прибегают ввиду того, что подлежащий вычислению определенный интеграл не выражается через элементарные функции (примером может служить ), либо подынтегральная функция задана таблично. Типовыми задачами такого класса являются задачи нахождения площади, объема, длины. В этих случаях значением интеграла является число. А для задач такого класса употребляют термин «квадратура». Рассмотрим вопрос о применении некоторых классов квадратурных формул к вычислению интегралов вида (1) где – любой конечный или бесконечный отрезок числовой оси; – вещественная функция некоторого класса; – некоторая фиксированная функция, которую называют весовой. 2

Наиболее часто приближенное значение интеграла (1) ищут в виде линейной комбинации значений функции на отрезке : (2) Приближенное равенство (2) называют квадратурной формулой, определяемой узлами и коэффициентами. Выражение в правой части (2) называют квадратурной суммой, а разность остаточным членом, или остатком этой квадратурной формулы. 3

2. К ВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ С РАВНООТСТОЯЩИМИ УЗЛАМИ Квадратурные формулы с равноотстоящими узлами будем применять для вычисления интеграла (3) с постоянной весовой функцией и конечным отрезком интегрирования. Пусть. Для случая интерполяционная квадратурная формула (2) может быть записана в виде формулы трапеции : (4) При квадратурная формула (2) может быть записана в виде квадратурной формулы Симпсона (5) Точность простейших квадратурных формул лишь в редких случаях может быть удовлетворительной. Для уменьшения погрешности предварительно разбивают отрезок на достаточно большое число интервалов и к каждому из них применяют простейшую квадратурную формулу. 4

Так, разбивая отрезок на равных частей длиной и применяя к частичному отрезку формулу (4), после суммирования по всем частичным отрезкам получим составную формулу трапеции (6) Если непрерывна на, то остаточный член формулы трапеций представим в виде (7) Отсюда получаем оценку погрешности (8) Пусть теперь – четное число. Возьмем удвоенный частичный отрезок и применим к нему формулу Симпсона (5). В результате суммирования по всем удвоенным частичным отрезкам найдем (9) 5

Приближенную формулу (9) называют составной формулой Симпсона. Ее остаточный член (10) Для оценки погрешности имеем неравенство (11) 6

3. В ЫБОР ШАГА ИНТЕГРИРОВАНИЯ Для выбора шага интегрирования можно воспользоваться выражением остаточного члена. Возьмем, например, остаточный член формулы Симпсона (10) Для заданной точности метода интегрирования и оценке погрешности имеем неравенство Из последнего неравенства определяем подходящее разбиение интервала ( ) и шаг : На практике, для достижения требуемой точности используют метод двойного пересчета. Для этого, по квадратурной формуле вычисляют интеграл с шагом и получают значение, затем уменьшают шаг вдвое и вычисляют новое значение. Нетрудно показать, что справедливо соотношение, для формулы трапеции и для формулы Симпсона. Следовательно, вычисления проводят до тех пор, пока не будет выполнено. 7

З АДАНИЕ 5 Тема: Численное интегрирование 1. Вычислить интегралы по формуле трапеций и Симпсона с заданным числом узлов и оценить погрешность. 2. Вычислить интегралы по формулам трапеций и Симпсона с заданной точностью, определяя шаг интегрирования по оценке остаточного члена. Для достижения заданной точности используйте метод двойного пересчета. Оцените соответствующие объемы вычислительной работы. 8