1 Лекция 2 Принципы статистического имитационного моделирования

2 Вопросы лекции 1. Моделирование статистических распределений случайных величин 2. Модель экспоненциального потока в системе MS Exel

3 Моделирование статистических распределений случайных величин В имитационной модели телекоммуникационной системы ( ИМ ТКС) должны быть отражены следующие процессы: Поступление заявок Выбор обслуживающего устройства Обслуживание Освобождение ИМ включает средства, позволяющие имитировать Входной поток заявок Управление/распределением заявок Обслуживание Выходной поток заявок Статистическую обработку входных и выходных параметров

4 Моделирование статистических распределений случайных величин Имитация входного потока заявок Поток заявок – это последовательность заявок ( вызовов), поступающих в систему обслуживания в определенные моменты времени: t 1, t 2, t 3, …, t i, …, t c, … где t i – это измеряемый параметр, который может принимать определенные или произвольные значения. Детерминированный поток – поток заявок в фиксированные моменты времени Стохастический ( случайный) поток – поток заявок в случайные моменты времени

5 Для определения потока заявок необходимо описать интервал времени между соседними заявками t k =t k -t k-1, Для моделирования случайного потока заявок необходимо задать функцию распределения F( t) интервала времени между соседними заявками. Наиболее часто для исследований систем связи используется модели простейшего потока Моделирование статистических распределений случайных величин

Для простейшего потока вызовов распределение числа вызовов, поступающих за время t определяется по формуле Пуассона 6 Р i (t) - вероятность поступления точно i вызовов простейшего потока за отрезок времени t Простейший поток также называют стационарным пуассоновским потоком Основные параметры простейшего потока распределение количества заявок i за интервал времени t распределение интервала времени между соседними заявками в потоке математическое ожидание и дисперсия числа заявок потока и времени между соседними заявками в потоке формула Пуассона

Моделирование статистических распределений случайных величин 7 Параметры простейшего потока Распределение количества заявок i за интервал времени t=1 Функция распределение интервала времени t между соседними заявками в простейшем потоке Р( t ) = Р( < t )=1- λe –λ t По-сути, это вероятность того, что за промежуток t поступит один и более вызовов Плотность распределения вероятности t p ( t ) = λe –λ t Таким образом, распределение промежутков времени между вызовами простейшего потока подчиняется показательному (отрицательному экспоненциальному) закону. Функция р( t ) зависит от параметра потока λ.

Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение числа i заявок в простейшем потоке 8 Моделирование статистических распределений случайных величин

Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение числа i заявок в простейшем потоке При t = 1 M(i) = D (i) = Равенство математического ожидания и среднеквадратического отклонения интенсивности потока – это признак показательного распределения Это равенство характерно и для простейшего потока и для любого стационарного и ординарного потока. 9 Моделирование статистических распределений случайных величин

10 Среднее длительность интервала времени Δt между соседними вызовами рассчитывается как математическое ожидание в виде Дисперсия Δt Равенство математического ожидания и среднеквадратического отклонения интервала времени между соседними заявками в потоке – это так же есть признак показательного распределения случайной величины Среднеквадратическое отклонение интервала Δt Моделирование статистических распределений случайных величин

11 Важное соотношение интенсивности потока и интервала времени между соседними заявками где средний интервал времени между соседними вызовами - интенсивность потока или число вызовов, поступающих за единицу времени. Моделирование статистических распределений случайных величин Свойства простейшего потока Стационарность Ординарность Отсутствие последействия

12 Пример. Пусть есть магазин, в который время от времени заходят покупатели. При определённых допущениях время между появлениями двух последовательных покупателей будет случайной величиной с экспоненциальным распределением. Среднее время ожидания нового покупателя (см. ниже) равно Сам параметр тогда может быть интерпретирован, как среднее число новых покупателей за единицу времени или интенсивность потока. Моделирование статистических распределений случайных величин

13 Для получения значений случайных величин, характеризующих моделируемый поток заявок используется метод, основанных на следующей теореме: Если случайная величина ρ имеет плотность распределения f(ρ),то распределение случайной величины является равномерным на интервале [0,1] Определение для функции экспоненциального распределения, определенной на дискретном времени t i f(x)=p (t i ) = λe –λt Моделирование статистических распределений случайных величин

14 Моделирование статистических распределений случайных величин где i – случайная величина, равномерно распределенная на интервале [0; 1] Пользуясь этой формулой можно получить множество значений ρ i, которые будут соответствовать экспоненциальной плотности распределения Определение для функции экспоненциального распределения, определённой на дискретном времени t i f(x)= ρ(t i ) = λe –λt Решая данное уравнение относительно детерминированных величин {ρ} можно получить формулу для расчета значений случайно величины ρ i

15 Моделирование статистических распределений случайных величин На основе последовательности случайных величин ρ i можно получить последовательность моментов поступления вызовов в потоке t 1 =ρ 1 t 2 =t 1 +ρ 2 = ρ 1 +ρ 2 t 3 = t 2 + ρ 3 = ρ 1 +ρ 2 +ρ 3 Общее выражение для расчета моментов поступления заявок в потоке при экспоненциальном распределении интервала времени между соседними заявками имеет вид

16 Моделирование статистических распределений случайных величин Формирование времени занятия каналов Совокупность времени освобождения каналов может быть определена следующим образом: t освi = t i + i где i – время обслуживания заявки( занятия канала), поступившей в момент времени t i В предположении, что время обслуживания распределено по экспоненциальному закону, плотность распределения имеет следующий вид (t) = e – t где – параметр потока обслуженных вызовов

17 Моделирование статистических распределений случайных величин Параметр потока обратно пропорционален среднему времени обслуживания Аналогично, длительность обслуживания можно определять в виде Для i 1 длительность обслуживания можно рассчитать по формуле Где - разыгранное значение случайной величины на интервале [0;1] по равномерному распределению

18 Моделирование статистических распределений случайных величин Метод расчета значений случайных величин, подчиненных заданному распределению на основе генерации случайных равномерно распределенных случайных величин в интервале [0;1] позволяет задать потоки заявок в виде имитации дискретных моментов времени их возникновения. По-сути, таким способом имитируется процесс поступления и обслуживания заявок в канале, ветви, КЦ сетей связи.

19 Модель простейшего потока в системе MS Exel Пример имитационной модели M/M/1 Модель имитирует работу одноканальной системы обслуживания с явными потерями при условиях: Входной поток вызовов – простейший с параметром Время обслуживания имеет экспоненциальное распределение с параметром Время – дискретное Система имеет два стационарных состояния канала: Свободен Занят Изменения состояния происходит при поступлении и завершении обслуживания заявки. Т.е. в система обслуживания отображает дискретно-событийный принцип моделирования

20 Модель простейшего потока в системе MS Exel Обобщенный алгоритм работы имитационной модели СМО

21 Модель простейшего потока в системе MS Exel =1 Модель M/M/1 ( с потерями)

Модель простейшего потока в системе MS Exel 22 Гистограмма разыгранных значений интервала между соседними заявками Оценка частости значений

23 Модель простейшего потока в системе MS Exel Достоинства Простота реализации ( на основе встроенных функций Exel) Небольшие затраты времени на создание модели Позволяет оценивать основной показатель – вероятность потери заявок из-за занятости обслуживающего устройства Активизирует образное мышление Недостатки Модель работает в ручном режиме, не работает самостоятельно Количество «прогонов» ограничено Статистическая обработка выполняется вручную

24 Модель простейшего потока в системе MS Exel Данный пример демонстрирует ручной режим прогона модельных экспериментов имитационной модели процессов поступления и обслуживания заявок. При увеличении числа экспериментов точность оценки потерь увеличивается ( приближается к теоретическим оценкам), т.е.оцениваемый результат приближается к точному значению или сходится

25 Модель простейшего потока в системе MS Exel Иллюстрация процесса сходимости определяемого экспериментально ответа к теоретическому результату

26 Модель простейшего потока в системе MS Exel Иллюстрация процесса сходимости определяемого экспериментально ответа к теоретическому результату

27 Модель простейшего потока в системе MS Exel Теоретическая зависимость количества экспериментов, необходимых для обеспечения заданной точности при Q F = 0.95 Точность ε Критическое число экспериментов N кр т Иллюстрация процесса сходимости определяемого экспериментально ответа к теоретическому результату

28 Литература Романов А. И. Телекоммуникационные сети и управление: Учебное пособие – К. ИПЦ «Киевский университет», 2003, - 247с. Сети ЭВМ. Под редакцией В.М. Глушкова – М.: Связь, 1977 Бусленко Н. П. Моделирование сложных систем – М. : Наука, 1978 Шеннон Р. Имитационное моделирование систем - искусство и наука: Пер. с англ. - М.: Мир, Максимей И.В. Имитационное моделирование на ЭВМ. - М.: Радио и связь, Шрайбер Т.Дж. Моделирование на GPSS: Пер. с англ. - М.: Машиностроение, GPSS/PC general purpose simulation. Reference Manual. - Minuteman software. P.O. Box 171. Stow, Massachusetts 01775, 1986.

29 Спасибо за внимание!