Математическая модель преобразования волновых полей в пространстве

Модели преобразования волновых полей в пространстве

При анализе дифракционных явлений, обычно различают три области формирования дифракционной картины электромагнитного поля

В первой области, располагающейся буквально на расстоянии нескольких длин волн от препятствия, формируется поле полностью соответствующее резкому изображению препятствия. В этой области предполагается ещё прямолинейное распространение света и полное отсутствие явлений дифракции. Экран, на котором наблюдается изображение препятствия, расположен или почти вплотную к препятствию, или область распространения поля в близи препятствия проецируется на удалённый экран с помощью какой – либо оптической системы

Во второй области, часто называемой ближней зоной или зоной дифракции Френеля, формируется дифракционное изображение препятствия. В этом случае экран, на котором наблюдается дифракционное изображение препятствия располагается на некотором удалении от препятствия

В третьей области, называемой дальней зоной или зоной дифракции Фраунгофера, формируется дифракционное изображение источника излучения. В этом случае экран, на котором наблюдается дифракционное изображение источника излучения располагается в бесконечности

- комплексная функция Её модуль и фаза показывают, во сколько раз изменяется амплитуда и соответственно насколько изменяется фаза излучения в точке (x,y,z) поверхности объекта после отражения (здесь фаза – угол отражения) Коэффициент отражения по амплитуде

Коэффициент отражения по интенсивности B(x,y) - коэффициент отражения излучения по интенсивности Зная функцию, уравнение поверхности тела F(x,y,z) = 0 и распределение амплитуды и фазы падающего на объект света, можно в принципе вычислить распределение амплитуды и фазы рассеянного света в произвольной точке пространства

Пусть - распределение амплитуды и фазы освещения на поверхности объекта Тогда поле на некоторой поверхности наблюдения можно описать с помощью интегрального соотношения Кирхгофа [Борн М., Вольф Э.] Интегрирование производится на поверхности объекта F(x,y,z) Вид ядра этого преобразования Т( x, y, z,,, ) зависит от пространственного расположения объекта и поверхности наблюдения.

Это преобразование в принципе обратимо где - это оператор, взаимный Т, а интегрирование происходит по поверхности наблюдения S Выражение описывает процесс восстановления волнового поля

Функцию (,, ) можно назвать математической голограммой Вычисление интеграла в общем случае представляет довольно сложную задачу Её удаётся решить только для очень простых объектов, заданных небольшим количеством отдельных линий или точек. В общем случае приходится прибегать к различного рода упрощениям

Первое упрощение, к которому можно прибегнуть без большого ущерба, состоит в сведении трёхмерной задачи к двухмерной Для этого поверхность наблюдения считается плоской, а распределение амплитуды и фазы волны на поверхности объекта заменяется по законам геометрической оптики распределением амплитуды и фазы на плоскости, касающейся объекта или достаточно близкой к нему (чтобы при пересчёте амплитуды и фазы пренебрегать дифракцией и пользоваться геометрической оптикой) и параллельной плоскости наблюдения

. где b 1 (x,y) – комплексная функция, полученная в результате пересчёта амплитуды и фазы поля, отражённого объектом на плоскость (x,y), касательную к нему и параллельную плоскости наблюдения

Пусть d – расстояние между двумя плоскостями. Плоскостью (x,y) на которой распределение известно и плоскостью в которой нам необходимо определить вид волнового фронта

Ядро преобразования, связывающее распределение света на двух параллельных плоскостях, имеет вид где - длина волны излучения

Очевидно, если угол, под которым виден объект с поверхности наблюдения (угол охвата) и площадь наблюдения малы, это естественная аппроксимация Для задач, где угол охвата должен быть велик, такой подход означает необходимость сведения их к задаче расчёта при малом угле охвата При этом для реализации больших углов охвата поверхность наблюдения можно разбить на небольшие фрагменты, аппроксимируемые плоскостями, и рассматривать голограммы для отдельных фрагментов, каждая из которых представляет часть общего угла и воспроизводит объект под своим ракурсом Для этого можно воспользоваться методом конечных элементов

Второе упрощение Если геометрические параметры тела малы по сравнению с расстоянием d до плоскости наблюдения, то это вместе с условием малости площади наблюдения приводит к дальнейшему упрощению При где max – максимальный угол (в радианах), под которым наблюдается объект с расстояния d ; k – коэффициент допустимой фазовой ошибки, равной, в передаче аргумента экспоненты в ядре преобразования между параллельными плоскостями

В этом случае ядро преобразования: а преобразование записывается в виде интеграла Френеля: Преобразование, описываемое этим соотношением, называется преобразованием Френеля

Огюстен Жан Френель ( ) Огюстен Жан Френель родился в Бройле, на севере Франции Отец его был архитектором. Удалившись в свое имение от тревог революции, он сам дал начальное образование своим детям Шестнадцати лет Огюстен был принят в Политехническую школу, которую и окончил по отделению мостов и дорог

Как инженер путей сообщения Френель служил в департаменте Вер до марта 1815 г. В период 100-дневного правления Наполеона он поддерживал роялистов. После своей отставки Френель поселился в Нормандии и занялся оптикой. Заинтересовавшись недавно открытым явлением поляризации света, он довольно скоро пришел к идеям волновой теории света По настоянию Араго он в 1819 г. представил свой знаменитый мемуар в Парижскую Академию. В последующие годы Френель занимался устройством маяков; он разработал их оптику и изобрел составные линзы линзы Френеля В 1823 г. он стал членом Парижской Академии и в 1825 г. был избран иностранным членом Лондонского Королевского общества. Умер Френель в возрасте 39 лет. Его Мемуар о дифракции света, удостоен премии Академии наук и опубликован в 1819 г.

Третье упрощение Если то этими составляющими можно пренебречь. В этом случае интеграл Френеля переходит в интеграл Фурье: который соответствует дальней зоне дифракции (дифракции Фраунгофера)

Преобразование Френеля в вычислительном отношении удобнее выразить через интегральное преобразование Фурье

Фурье Жан Батист Жозеф (21.III V 1830) Французский математик, один из основоположников математической физики, член Института Франции (с 1817). Родился в Оксерре

Сын бедного портного, осиротел в восьмилетнем возрасте. Учился в военной школе в Оксерре. В и в преподавал там же риторику, историю и философию. С 1781 начал заниматься математикой. В 1795 был направлен в Политехническую школу (Париж) учеником, но вскоре стал в ней преподавателем, затем профессором. Принимал участие в Египетской кампании Наполеона С непременный секретарь Египетского института, где развил значительную научную и организаторскую деятельность. В 1799 возглавил одну из научных экспедиций в долине Верхнего Нила. Был шефом юридической администрации, исполнял дипломатические поручения французских властей. В 1801 работал в ведомстве народного просвещения Франции. С префект департамента Изеры. С председатель Совета усовершенствования Политехнической школы

Избрание Фурье в Институт Франции по Секции математики (1816) не было утверждено королем. Вторично он был избран по Секции обшей физики (1817). С непременный секретарь Секции математики Института Франции Основные работы относятся к теории тепла и теории уравнений с частными производными. Вывел уравнение теплопроводности и развил методы его интегрирования при различных граничных условиях, чем заложил основы математической физики Разработал учение о представлении функций в виде тригонометрических рядов (ряды Фурье). Доказал свою знаменитую теорему о числе действительных корней алгебраического уравнения, расположенных в заданном интервале. Разрабатывал теорию алгебраических уравнений и их численного решения. Опубликовал много мемуаров по вопросам математической статистики, В области динамики исследовал принцип виртуальных работ. Написал ряд статей по теории вероятностей, а также о творчестве отдельных ученых. Внес основополагающий вклад в египтологию Член французской академии (с 1826), почетный член Петербургской АН (с 1829), иностранный член Лондонского королевского общества

Преобразование Фраунгофера представляет собой с точностью до множителей пространственный Фурье-спектр функции b 1 (x,y): взятый по координатам Vx,Vy в масштабе

Фраунгофер Йозеф ( ), немецкий физик-оптик исследовал явление дисперсии и достиг успехов в изготовлении ахроматических линз изобрел метод точного определения формы линз, изобрел машину для шлифования ахроматических линз; сконструировал спектрометр, ахроматический микроскоп, окулярный микрометр и гелиометр впервые наблюдал, исследовал и объяснил темные линии в солнечном спектре и измерил их длину волны ( , независимо от У. Волластона, фраунгоферовы линии) изучил дифракцию в параллельных лучах (дифракция Фраунгофера) широко использовал дифракционные решетки

Сын бедного стекольщика, работал в мастерской отца. После его смерти (1798) в двенадцать лет поступил обучаться, затем работать в зеркальной и стекольной мастерской в Мюнхене. Свободные от работы часы Фраунгофер посвящал чтению и самообразованию. По выходе из ученья он приобрел машину для шлифовки оптических стекол, но принужден был добывать себе, однако, средства гравировкой визитных карточек. С 1806 ассистент математического и оптического института (находился в Мюнхене, затем в Бенедиктбёйерне), где изготовлялись линзы и оптическая аппаратура. В 1809 стал одним из его руководителей, в 1818 его директором. Основанная в 1814 году при участии Фраунгофера фирма «Утцшнейдер и Фраунгофер», быстро приобрела мировую известность как выпускающая для крупных обсерваторий оптические приборы, главным образом рефракторы и зрительные трубы, высокого качества. С 1823 хранитель физического кабинета Мюнхенского университета и член Баварской АН, с 1824 член Академии Леопольдина. Фраунгофер изобрёл окулярный микрометр и своеобразный объективный микрометр. Изучая показатели преломления различных сортов стекла, в 1814 открыл (независимо от английского физика У. Волластона) и описал линии поглощения в солнечном спектре (фраунгоферовы линии). В 1821 впервые применил дифракционную решётку для изучения спектров. Предложил метод наблюдения дифракции света в параллельных лучах.

Таким образом, при прохождении оптического волнового фронта через свободное пространство на некотором расстоянии происходит преобразование Френеля, которое далее, при увеличении расстояния, переходит в преобразование Фурье

Границы применения моделей дифракции

Для получения комплексной амплитуды исходного волнового фронта необходимо сделать обратное преобразование Для этого в плоскость необходимо поместить линзу

Рассмотрим простейшую оптическую схему. На линзу падает распространяющаяся в направлении z плоская волна с комплексной амплитудой непосредственно вблизи линзы

Комплексная амплитуда в плоскости y 2 будет иметь вид, похожий на интегральное преобразование Фурье Фотоприемники регистрируют интенсивность При этом фазовый множитель сокращается поскольку

Если на тонкую линзу с примыкающим к ней транспарантом падает плоская волна, то в задней фокальной плоскости линзы образуется распределение комплексных амплитуд, пропорциональное произведению фазового множителя сферической волны и Фурье-образа пропускания транспаранта

При распространении волнового поля, отраженного от диффузного объекта, на некотором расстоянии d происходит преобразование Френеля комплексной амплитуды, которое с увеличением расстояния переходит в преобразование Фурье Для получения комплексной амплитуды исходного волнового фронта необходимо сделать обратное преобразование. Для этого в плоскость необходимо поместить линзу. В плоскости с точностью до постоянных множителей распределение интенсивности совпадет с распределением на плоскости объекта

Результаты моделирования распределение интенсивности в плоскости наблюдения Френеля Фурье

Рассчитываем голограмму, для этого массив преобразования Френеля домножаем на, имитируя освещение плоской наклонной волной

Последнее изображение – восстановленный объект. На нём в центре паразитная засветка от нулевого порядка дифракции и два восстановленных изображения – мнимое и действительное