Системы счисления Системы счисления - это способы записи чисел в виде, удобном для прочтения и выполнения арифметических операций Рассматривая археологические находки эпохи палеолита, можно заметить, что люди стремились группировать точки, полосы, насечки по 3, 4, 5 или по 7. Такая группировка облегчала счет. В древности чаще всего считали на пальцах, и поэтому предметы стали группировать по 5 или по 10 Пальцевый счет сохранился кое-где и поныне. Историк и математик Л.Карпинский в книге "История арифметики" сообщает, что на крупнейшей мировой хлебной бирже в Чикаго предложения и запросы, как и цены, объявлялись маклерами на пальцах без единого слова

В дальнейшем десяток десятков получил свое название (сотня), десяток сотен свое и т.д. Если при пересчете оказывалось 2 сотни, 7 десятков и еще 4 предмета, то дважды повторяли знак для сотни, семь раз для десятка и 4 - знак для единицы. Знаки для единиц, десятков, сотен были непохожи друг на друга. При такой записи знаки можно было располагать в любой порядке, и значение записанного числа при этом не менялось Непозиционная система счисления система счисления, в которой вес цифры не зависит от ее положения.

Подобные системы счисления стали называться непозиционными. Непозиционные системы счисления были более или менее пригодны для выполнения операций сложения или вычитания, но совсем не удобны для умножения и деления. Чтобы облегчить работу, применялись счетные доски абаки Непозиционными были системы счисления у древних египтян, греков, римлян и славян. Долгое время бытовала алфавитная форма записи. А ней каждый значок означал определенное число, при записи эти числа суммировались

На Руси пользовались десятичной алфавитной нумерацией, а чтобы не путать буквы с цифрами, над числами ставился особый значок - титло

1 000 тысяща тьма 10 e12 легеон 10 e24 леодр 10 e48 ворон 10e 49 колода Для обозначения тысяч употреблялся другой знак, который ставился слева. Так можно было записывать числа от единицы до миллиона, а для больших чисел имелись свои обозначения. В русских арифметиках XVII века встречаются две системы их записи - "великого числа" и " малого числа ", в которой те же названия имеют совсем другие величины: тьма легион леодр

Римская пятерично-десятичная система использовала шесть букв алфавита, как числа-цифры, кратные пяти и еще одну - для обозначения единицы. Нуля в ней нет I V X L C D M Знаки в числе располагали по убыванию, от больших к меньшим и складывали. Меньшее число, стоящее перед большим из него вычитали. Для очень больших цифр значок М использовали как индекс, показывающий, сколько тысяч записано CLXVII M DXXXIV = ?

CLXVII M DXXXIV = Поступали и по иному: горизонтальная черта над цифрой показывала ее увеличение в тысячу раз _ X = двумя вертикальными боковыми чертами вместе с горизонтальной - в сто тысяч раз _ IVI = По свидетельству древнеримского историка Плиния-старшего, на главной римской площади Форуме была воздвигнута гигантская фигура двуликого бога Януса. Пальцами правой руки он изображал число 300, пальцами левой Вместе это составляло число дней в году в римском календаре

У древних вавилонян система счисления вначале была непозиционной, но в последствии они перешли к использованию записи, использующую порядок записи Позиционная система счисления система счисления, в которой вес (значение) цифры меняется с изменением положения цифры в числе, но при этом полностью определяется написанием цифры и местом, которое она занимает. В частности, это означает, что вес цифры не зависит от значений окружающих ее цифр При этом в отличии от используемой нами системы счисления, в которой значение цифры меняется в 10 раз при перемещении на одно место (такую систему называют десятичной) у вавилонян при перемещении знака происходило изменение значение в 60 раз). Долгое время у вавилонян не было нуля, т.е. знака для пропущенного разряда. Следы вавилонской системы счисления сохранились до наших дней. (1 час - 60 мин, 1 мин с)

Индийские математики использовали десятичную систему. Сочетав с ней вавилонский метод обозначения чисел, индийцы создали в 6 веке способ записи использующий лишь 9 цифр Вместо нуля оставляли пустое, а позднее стали ставить точку или маленький кружок. В 9 веке появился особый знак для нуля. Были выработаны правила выполнения арифметических операций, не требующих применения абака, и этот способ распространился по всему миру XII в

Такая система возникала около полутора тысяч лет назад, а в Европу пришла через мавров - арабов, завоевавших в средние века Пиренеи и юг Франции. Поэтому и сами цифры называются арабскими. Древнейшая известная рукопись с такими цифрами хранится в одном из монастырей на севере Испании и датируется 976 годом Мысль - выражать все числа немногими знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значение по месту, - настолько проста, что именно из-за ее простоты трудно оценить насколько она удивительна. Как нелегко прийти к этому, мы видим ясно на примере величайших гениев греческой учености - Архимеда и Аполония от которых эта мыль оказалась скрытой - писал выдающийся французский математик и астроном Лаплас

За основание системы счисления можно принять любое число p, большее 1. Для записи чисел в p - ичной системе счисления нужно p цифр. Число записанное цифрами a k, a k-1,, a 0 в p-ичной системе равно Основание системы счисления отношение весов соседних разрядов основной позиционной системы счисления Например: = 1* * *10 0

Наиболее важными особенностями позиционных систем счисления являются следующие: 1. Количество цифр системы равно ее основанию. 2. Наибольшая цифра на единицу меньше основания. 3. Каждая цифра числа умножается на основание в степени, значение которой определяется положением цифры. Двоичная система счисления является простейшей среди позиционных систем, так как имеет всего две цифры - 0 и 1. Основанием двоичной системы счисления является 2. Например двоичное число равно: = 1* * *2 0 = = 5 10

Десятичное числоДвоичное число

Операции над натуральными числами в p-ичной системе счисления выполняются в обычном порядке, с той лишь разницей, что для каждой системы счисления надо брать свои таблицы сложения и умножения. Особенно простой вид эти таблицы имеют для двоичной системы счисления = 0 0 – 0 = 0 0 x 0= = 1 1 – 0 = 1 0 x 1= =10 1 – 1 = 0 1 x 1=1 10 – 1 =

Еще в 17 в. Немецкий математик Г.В.Лейбниц предложил перейти на двоичную систему счисления, но этому помешало то, что запись в двоичной форме очень длина При подготовке задач в двоичной системе для сокращения записи нередко пользуются восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления Восьмеричная система счисления. Широко использовалась в программировании в ые гг. К настоящему времени практически полностью вытеснена шестнадцатеричной системой счисления, однако функции перевода числа из десятичной системы в восьмеричную и обратно сохраняются в микрокалькуляторах и многих языках программирования Шестнадцатеричная система счисления. Использует шестнадцать цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 в их обычном смысле, а затем A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15. Внедрена американской корпорацией IBM. Широко используется в программировании для IBM-совместимых компьютеров

Десятичное числоДвоичное числоВосьмеричное числоШестнадцатиричное число A B C D E F

Если число записано в десятичной системе, а его надо перевести в p-ичную систему, то делят это число на p с остатком. Потом делят на p с остатком неполное частное и т.д., пока не получится неполное частное равное нулю. Выписывая подряд все остатки, начиная с последнего, получим искомую запись нашего числа

327:2 = 163 остаток :16 = :2 = :16 = (E) 81:2 = :16 = 1 11 (B) 40:2 = :16 = :2 = :2 = 5 0 5:2 = 2 1 2:2 = 1 0 1:2 = = = 1BE7 16

В позиционном представлении целая часть дробного числа (выражений, имеющих положительный показатель степени) отделяется от дробной части (выражений, имеющих отрицательный показатель степени) с помощью десятичной точки. Например, двоичное число эквивалентно десятичному числу (1 * 2 2 ) + (0 * 2 1 ) + (1 * 2 0 ) + (1 * 2 -1 ) + (0 * 2 -2 ) + (1 * 2 -3 ) = Алгоритм для перевода дробной части другой. Поэтому необходимо отдельно перевести целую часть числа и отдельно дробную

Перевод дробной части производится следующим образом: x 2 = = x 2 = 0.5 = x 2 = = = x 16 = 3.48 = x 16 = 7.68 = x 16 = = 10 (A) x 16 = = 14 (E) x 16 = 1.28 = x 16 = 4.48 = = 0.37AE14 16

Переход от восьмеричной и шестнадцатиричной систем к двоичной и обратно осуществляется очень просто. Простота преобразований объясняется тем, что числа 8 и 16 являются целыми степенями двойки. каждый разряд восьмеричной системы преобразуется в некоторое трехзначное двоичное число каждый разряд 16-ой системы преобразуется в 4-значное число = = Для перехода от двоичной записи к восьмеричной нужно разбить двоичную запись на группы по три цифры справа налево и каждую группу заменить восьмеричным числом. Для перехода от двоичной к шестнадцатеричной на группы по = = = =

Переведем дробную часть двоичного числа в десятичный вид (0.1): Для этого число необходимо умножать на 10 в двоичной арифметике = Проше умножать в восьмеричной системе = = = = 12 8

x 12 8 = = 0 8 (0 10 ) x 12 8 = = 11 8 (9 10 ) x 12 8 = = 11 8 (9 10 ) x 12 8 = = 6 8 (6 10 ) x 12 8 = = 0 8 (0 10 ) x 12 8 = = 11 8 (9 10 ) x 12 8 = = 3 8 (3 10 ) x 12 8 = = 7 8 (7 10 ) x 12 8 = = 5 8 (5 10 ) = =

В ряде как теоретических, так и практических задач некоторые системы счисления, отличные от десятичной, представляют известные преимущества. Двоичная система счисления для изображения одного и того же диапазона чисел требует меньшего числа элементов машины для их записи, чем десятичная Действительно количество чисел, имеющих n разрядов, в системе счисления с основание c равно n M = c Необходимое для представления этих чисел число элементов пропорционально N c = c*n Зафиксируем число M и найдем то c для которого N c достигает минимума Из первого равенства находим, что n = ln(M)/ ln(c)

Подставив это значение в выражение для N c, находим N c = c*ln(M)/ln(c) Легко найти, что минимум этого выражения достигается при c=e=2, С рассматриваемой точки зрения самой выгодной системой счисления является троичная. Для изображения всех чисел от 1 до 10 6 в десятичной системе требуется 60 элементов (6 позиций по 10 знаков), в двоичной 40, в троичной 38.

Троичная система не получила широкого применения в цифровых машинах в связи с трудностями конструирования достаточно надежных быстродействующих элементов с тремя устойчивыми состояниями В Советском Союзе была создана и несколько лет успешно работала троичная машина. Речь идет об ЭВМ «Сетунь», разработка которой завершилась в 1959 году в стенах МГУ. Ее главный конструктор Николай Петрович Брусенцов

Однако увеличение числа элементов для записи чисел в двоичной системе по сравнению с троичной невелико. Если число элементов, необходимое для записи в двоичной системе, обозначить N 2, а для записи в троичной N 3, то N 2 /N 3 = 2*ln(3)/(3*ln(2))= 2*lg 10 (3)/(3*lg 10 (2)) ~ 1,056

Используются и другие системы счисления: Двоично-десятичная система счисления. Десятичные цифры от 0 до 9 заменяются представляющими их двоичными тетрадами: 0=0000, 1=0001, 2=0010, 3=0011, 4=0100, 5=0101, 6=0110, 7=0111, 8=1000 и 9=1001. Такая запись очень часто используется как промежуточный этап перевода числа из десятичной системы в двоичную или обратно. Так как 10 не является точной степенью 2, то используются не все 16 тетрад, а алгоритмы арифметических операций над многозначными числами здесь более сложны, чем в основных системах счисления. И тем не менее, двоично-десятичная система счисления применяется даже на этом уровне во многих микрокалькуляторах и некоторых компьютерах (в частности, «Ямаха» стандарта MSX) Десятично-тысячная система счисления. Система счисления, которой мы обычно пользуемся, фактически является двойной и имеет основания 10 и Это проявляется как в записи «длинных» чисел с пробелами (в англоязычном формате – запятыми) между классами (тройками разрядов), так и в правилах чтения. Число читается по классам (т.е. разрядам тысячной системы счисления) и лишь внутри класса – по десятичным разрядам

Уравновешенная троичная система счисления. В отличие от обычной троичной системы счисления, вместо цифры 2 использует другую цифру – со значением –1. Это позволяет отказаться от особого обозначения для знака числа, так как знак числа определяется знаком его первой цифры. Кроме того, для этих цифр упрощаются таблицы сложения и умножения. Для удобства и большей выразительности вместо цифр чаще пишутся буквы: -1=N (negative), 0=O (внешнее сходство), 1=P (positive). Так как получились три подряд идущие буквы алфавита, то переход от значения цифры к ее коду (обозначению) или обратно осуществляется одной общей арифметической операцией (не требует логических операций и анализа). Среди первых электронных вычислительных машин была и московская «Сетунь», арифметическое устройство которой базировалось на таком представлении чисел Одиннадцатеричная система счисления употребляется в языке для устного счета народом маори – коренным населением Новой Зеландии. Двенадцатеричная система счисления. На ее широкое использование в прошлом явно указывают названия числительных во многих языках, а также сохранившиеся в ряде стран способы отсчета времени, денег и соотношения между некоторыми единицами измерения. Год состоит из 12 месяцев, а половина суток состоит из 12 часов. В русском языке счет часто идет дюжинами, чуть реже гроссами (по 144=122), но в старину использовалось и слово для 1728=123. В английском языке есть особые (а не образованные по общему правилу) слова eleven (11) и twelve (12). Английский фунт состоит из 12 шиллингов

Американские ученые уверяют, что вплотную приблизились к разгадке узелкового письма древних инков. Империя инков, которая считается одной из великих мировых цивилизаций, просуществовала с 1400 года по 1532 год нашей эры. Древний народ жил в Андах, вдоль западного побережья Южной Америки. Сейчас на этой территории расположены Чили и Колумбия Цветные пучки шнурков с завязанными на них узелками использовались индейцами для передачи информации. Эти приспособления назывались кипу и выглядели следующим образом.

К главной шерстяной или хлопчатобумажной веревке, которая могла быть заменена толстой палкой, подвешивались более тонкие шнурки. Они различались между собой по цвету и длине и завязывались в простые и сложные узлы. Цвет шнурков, их толщина и длина, количество узелков - все это имело свое значение. С помощью кипу инки сохраняли важную информацию и передавали сведения о размере военной добычи и числе пленных, о собранных налогах и об урожае кукурузы и картофеля