Теорема Гаусса Лектор доцент А.П. Чернышев Весна 2011 г.

Карл Фридрих Гаусс Carl Friedrich Gauß (1777 – 1855)

Поток вектора напряженности

Поток вектора напряженности электрического поля Поток вектора – величина алгебраическая

Телесный угол Рассмотрим сферу радиусом r. Область пространства, ограниченную поверхностью конуса, называют телесным углом. Мерой телесного угла Ω служит отношение площади S к квадрату радиуса сферы r:

Полный телесный угол

За единицу телесного угла принят стерадиан (ср) – это телесный угол с вершиной в центре сферы, вырезающий на поверхности сферы элемент, площадь которого равна квадрату радиуса сферы. Полный телесный угол Ω=4π

ф

Интегрируя по замкнутой поверхности, получим Здесь полный телесный угол

Если зарядов много, то надо использовать принцип суперпозиции полей: N – количество зарядов

Плотность заряда Объёмная плотность заряда Кл/м 3 или

Плотность заряда Поверхностная плотность заряда Кл/м 2 или

Плотность заряда Линейная плотность заряда Кл/м или

Теорема Гаусса

Напряженность поля бесконечной заряженной плоскости (σ=const) Поток вектора Е через боковую поверхность равен нулю. Поток через торцевые поверхности равен: Заряд внутри цилиндра равен:

По теореме Гаусса Из симметрии следует, что Отсюда имеем

b

Поле равномерно заряженного цилиндра

Цилиндр Из соображений симметрии следует, что напряженность поля в любой точке должна быть направлена вдоль радиальной прямой, перпендикулярной к оси цилиндра, а модуль напряженности может зависеть только от расстояния r от оси цилиндра. Для оснований цилиндра E n = 0, для боковой поверхности E n = E(r) (заряд предполагается положительным).

Следовательно, поток вектора E через рассматриваемую поверхность равен E(r) 2πrh Если r>R, внутрь поверхности попадает заряд q=λh. Применив теорему Гаусса получим отсюда

Если r < R, рассматриваемая замкнутая поверхность не содержит зарядов, вследствие чего E(r)=0

Поле равномерно заряженной сферы Из соображений симметрии ясно, что линии напряженности начинаются на поверхности сферы (в случае положительного заряда), направлены по радиусам сферы и перпендикулярны к ее поверхности. Проведем сферическую поверхность радиусом r>R, где R – радиус заряженной сферы. Поток напряженности через эту поверхность равен

Заряд сферы - q Напряженность равна

Поле равномерно заряженного шара (ρ=const) Полный заряд шара Напряженность электрического поля вне шара можно найти с помощью теоремы Гаусса точно также, как и напряженность равномерно заряженной сферы:

Или в векторном виде

Для нахождения поля внутри шара нужно применить теорему Гаусса к случаю r

r R

Получаем Или в векторном виде

Пример расчета электрического поля без применения теоремы Гаусса Равномерно заряженная нить бесконечной длины α dα r α b dx A B O 0

Рассчитаем напряженность электрического поля Заряд равен напряженность, создаваемая этим зарядом, равна Из рисунка следует, что

Также следует, что После подстановки в формулу для расчета напряженности, имеем

Отсюда имеем Интегрируя, получим