АВСD - прямоугольник A BC D 3 6 AВ АC = AО АD = AD DC = AB AC AB, AC = cos 9 O 3 6 = 63 = AО AD AO, AD = cos 3 = AD DC т.к. AD = 6 2 – 3 2 = 3 3 BAC = BAC = cos AC AB CAD = CAD = cos AC AD

Скалярное произведение векторов Скалярное произведение векторов и выражается формулой выражается формулой a {x 1 ; y 1 } b {x 2 ; y 2 } Теорема = x 1 x 2 + y 1 y 2 ab Случай, когда один из векторов нулевой a {x 1 ; y 1 } 0 {0; 0} = x y 1 0 a0Доказательство:

a b a b О А В Рассмотрим случай, когда векторы и не нулевыеab AB 2 = ОА 2 + ОВ 2 – 2 ОА ОВcos Если векторы и не коллинеарны, то по теореме косинусов:ab*

a b О АВ AB 2 =(ОА – ОВ) 2 = сos = 1 = AО 2 + ОВ 2 – 2 ОА ОВ cos = AО 2 + ОВ 2 – 2 ОА ОВ Еслиab =1 Равенство верно и для коллинеарных векторов. AB 2 = ОА 2 + ОВ 2 – 2 ОА ОВcos *

a b О А В AB 2 =(ОА + ОВ) 2 = сos = –1 = AО 2 + ОВ ОА ОВ cos = AО 2 + ОВ 2 – 2 ОА ОВ Еслиab =1 1 1 = – сos Равенство верно и для коллинеарных векторов. AB 2 = ОА 2 + ОВ 2 – 2 ОА ОВcos*

b = x y ( ) = AB 2 = ОА 2 + ОВ 2 – 2 ОА ОВcos* b – a AB = b OA = a OB = b – a 2 a 2 b 2b 2b 2b 2+ – – ab a {x 1 ; y 1 } b {x 2 ; y 2 } b – a {x 2 – x 1 ; y 2 – y 1 } a = x y b – a = (x 2 – x 1 ) 2 + (y 2 – y 1 ) : 2 a b ОА В AO + OB

d { 2 ; 4} 2 Ненулевые векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0abСледствие 11ab x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 b {-2; 1} bd Пример = 0

Косинус угла между ненулевыми векторами и выражается формулойabСледствие 22 cos cos = x 1 x 2 + y 1 y 2 x y 1 2 x y 2 2 x y 2 2

Следствие 22 Доказательство: a = b = x y 2 2 ab ab =abcos cos = ab = x 1 x 2 + y 1 y 2 ab = x 1 x 2 + y 1 y 2 x 1 x 2 + y 1 y 2 x y 1 2 x y 2 2

Сочетательный закон Переместительный закон Распределительный закон Свойства скалярного произведения векторов Для любых векторов,, и любого числа справедливы равенства:abbkc4 a 2 0 причем при a 2 > 0 a 0 abba= (a + b) c = a c + b c ( k a )( k a )( k a )( k a )b k ( a b) =

1 Свойство следует из определения скалярного квадрата вектора a 2 0 причем при a 2 > 0 a 0 aa a 2a 2a 2a 2 a 2 == Обоснуем

Свойство следует из определения скалярного произведения векторов 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 ab=ab x2x2x2x2 + x1x1x1x1 y1y1y1y1 y2y2y2y2abba= Переместительный закон abba=

= x 1 x y 2 y 3 = ( ) ( ) 3 Докажем свойство Рассмотрим векторы a {x 1 ; y 1 } b {x 2 ; y 2 } c {x 3 ; y 3 } (a + b) c = (x 1 + x 2 ) x 3 + (y 1 + y 2 ) y 3 = = a c + b c Распределительный закон (a + b) c = a c + b c x2 x3x2 x3x2 x3x2 x3 y1 y3y1 y3y1 y3y1 y3

4 Докажем свойство Рассмотрим векторы a {x 1 ; y 1 } ka {kx 1 ; ky 1 } (k a ) b = (k x 1 ) x 2 + (k y 1 ) y 2 = = k (x 1 x 2 + y 1 y 2 ) = = k (a b) b {x 2 ; y 2 } Сочетательный закон ( k a )( k a )( k a )( k a )b k ( a b) =

Распределительный закон имеет место для любого числа слагаемых. Например, ( a + b + c ) d = a d + b d + c d (a + b) c = a c + b c

a {3; -4} b {-2; 1} Найдите c {-2;-1,5} ab bc ca = 3 (-2) + (-4) 1 = - 10 = (-2) (-2) + 1 (- 1,5) = 2,5 = 3 (-2) + (-4) (- 1,5) = 0 Перпендикулярны ли векторы и, и, иabbcca Каким (острым, тупым или прямым) является угол между векторами и, и, иabbcca тупой острый прямой

bd bd x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 x = 2 * d { ? ; 4} x b {-2; 1} = 0 Найдите абсциссу вектора, если известно, чтоd

a {4; -2} i Найдите c {-2;-1,5} ai cj ij = (-2) 0 = 4 = (-2) 0 + (- 1,5) 1 = - 1,5 = = 0 Перпендикулярны ли векторы и, и, иaicjij Каким (острым, тупым или прямым) является угол между векторами и, и, иaicjij острый тупой прямой { 1; 0} j { 0; 1}

b {-2; 0} Найдите скалярное произведение векторов: и, если и a + b a – b a { 3; -4} = a 2 – b 2 (a + b)(a – b) a = (-4) 2 = 25 = a 2 – b 2 a 2 = 25 b = (-2) = 4 b 2 = 4 = 25 – 4 = 21 Восстановите решение

b {-2; 0} Найдите скалярное произведение векторов: и, если и a + b { 1; -4 } a – b a { 3; -4} (a + b)(a – b) a + b a – b { 5; -4 } (a + b)(a – b) = (-4) (-4) = 21 Найдите другой способ решения

Найдите скалярное произведение векторов: и, если и – координатные векторы. i – j 2i + 3j i j =j =j =j = j (i – j )(2i + 3j ) = 2i 2 +3i j – 2 i j – 3j 2 = i =i =i =i = = 2 i 2 – 3 j 2 = 2 1 – 3 1 = –1= –1= –1= –1 Восстановите решение

Вычислить, если А(-3; 3), В( 1; 1), С(-2; 4), Е(-1;2) А(-3; 3), В( 1; 1), С(-2; 4), Е(-1;2). Найдите 2 способа. CE AB + CB BA 123 CE AB = (-2) (-2) = 8 BA {- 4; 2} CB BA = 3 (-4) + (-3) 2 = (-18) = -10 = CE AB + CB (–AB) = AB (CE – CB) = AB (CE + BC) = AB (ВC + CЕ) = AB ВЕ = CE AB + CB BA = 4 (-2) + (-2) 1 = -10 CE { 1; -2} AB { 4; -2} CВ { 3; -3} BЕ {- 2; 1} 2 способ 2 способ 1 способ 1 способ

Вычислить если,, a = 5 b = 8 a + b a b = 60 0 Cкалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. a 2a 2a 2a 2 = a 2 a + b 2 (a + b) 2 = = a a b + b 2 = a a b cos a b + b 2 = cos = = 129 a + b = = = = (a + b) 2 a + b 2 = 129

= 49 (a – b) 2 a – b 2 a – b Вычислить если,, a = 5 b = 8 a – b a b = 60 0 Cкалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. a 2a 2a 2a 2 = a 2 a – b 2 (a – b) 2 = = a 2 – 2 a b + b 2 = a 2 – 2 a b cos a b + b 2 = 5 2 – cos = 5 2 – = = = = Восстановите решение