Выполнил и : Баширов Антон, Шарафутдинов Райнур ученики 8 класса « А » Руководитель: Шарипова Н. Р. Нижневартовск, К вадратны е уравнени я Муниципальная общеобразовательная средняя школа 15

Цель: - формирование умения решать квадратные уравнения Задачи: - изучить историю решения квадратных уравнений; - рассмотреть формулы для решения квадратных уравнений, - научиться решать квадратные уравнения нестандартными способами.

Экскурс в историю

Классификация квадратных уравнений полные неполные Аль-Хорезми, где a 0 b=0 b=0, c=0 c=0 или

Классификация квадратных уравнений не приведенные, где a 0 приведенные

Формулы корней квадратного уравнения Герон Если D > 0, то имеются два различных корня. Если D = 0, то имеется единственный корень x =. Если D < 0, то корней нет.

Теорема Виета Франсуа Виет

n Ситуации, в которых может n использоваться теорема Виета. n Проверка правильности найденных корней. n Определение знаков корней квадратного уравнения. n Устное нахождение целых корней приведённого квадратного уравнения. n Составление квадратных уравнений с заданными корнями. n Разложение квадратного трёхчлена на множители.

Дополнительная формула корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом

n Пусть дано квадратное уравнение ax²+bx+c=0,а x 1, x 2 -его корни, если a+b+c=0, то x 1 =1, x 2 =c/a. Примеры: 7x²+x-8=0 7+1+(-8)=0, тогда x 1 =1, x 2 =-8/7 6x²-x-5=0 6+(-1)+(-5)=0, тогда x 1 =1, x 2 =-5/6 4x²-5x+1=0 4+(-5)+1=0, тогда x 1 =1, x 2 =1/4

n Пусть дано квадратное уравнение ax²+bx+c=0, если a+c = в, то x 1 =-1, x 2 =-c/a. n Примеры: 5x²-9x-14=0 5+(-14)=-9, тогда x 1 =-1, x 2 =2,8 6x²-5x-11=0 6+(-11)=-5, тогда x 1 =-1, x 2 =- 11/6 x²+8x+7=0 1+7=8, тогда x 1 =-1, x 2 =-7.

n Пусть дано квадратное уравнение mx²- (m²+1)x+m=0, x 1, x 2 -его корни, тогда x 1 =m, n x 2 =1/m, где m R, m0. Примеры: 3x²-10x+3=0 3=3 -10=-(3²+1), тогда x 1 =3, n x 2 =1/3 4x²-17x+4=0 4=4 -17=-(4²+1), тогда x 1 =4, x 2 =1/4 6x²-37x+6=0 6=6 -37=-(6²+1), тогда x 1 =6, x 2 =1/6

n Пусть дано квадратное уравнение mx²- (m²-1)x-m=0, а x 1, x 2 -его корни, тогда если |m|>|1/m|, x 1 =m, x 2 =-1/ m; если |m| І1/5І, тогда x 1 =5,х 2 =-1/5 7 x²-48x-7=0 І7І>І1/7І тогда х 1 =7, х 2 =-1/7 1/7 x²-1/48x-1/7=0 І1/7І |1/m|, x 1 =m, x 2 =-1/ m; если |m| І1/5І, тогда x 1 =5,х 2 =-1/5 7 x²-48x-7=0 І7І>І1/7І тогда х 1 =7, х 2 =-1/7 1/7 x²-1/48x-1/7=0 І1/7І

Решение квадратного уравнения способом замены переменной. n 1). Решить уравнение: n (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 24. n Решение: Умножим первый двучлен на четвёртый, затем второй на третий и сделаем замену переменной, получим: n ( x² + 5x + 4)( x² + 5x + 6) = 24, n Пусть x² + 5x = y, тогда n ( y + 4)( y + 6) = 24, n y² + 10y + 24 =24, n y² + 10y = 0, n y ( y + 10) = 0 y = 0 или y + 10 =0 n y = -10. n Вернёмся к переменной x, получим два уравнения: n x² + 5x =0 и x² + 5x = -10. n x ( x + 5) = 0 x² + 5x +10 = 0. n x = 0 или x + 5 = 0 D = 25 – 40 < 0 уравнение не имеет действительных корней n x = -5. Ответ: X1 = 0. X2 =-5.

Практическая работа I Вариант II Вариант III Вариант IV Вариант V Вариант VI Вариант Основная формула Дополнительная формула Свойства коэф - ов Приведенное (D) Теорема Виета Квадрат двучлена 5х² + 12х + 7 = 0

Алгоритм решения квадратного уравнения n 1.Проверить каким является квадратное уравнение полным или неполным. n 2.Если уравнение неполное, то решаем, применяя свойства коэффициентов или правила нахождения корня уравнения, определив какому из трех случаев(ах²=0, ах²+bх=0 или ах²+с=0) соответствует данное уравнение. n 3. Если уравнение полное, то решаем n а)либо по свойствам коэффициентов, n б)либо по теореме Виета, n в) либо применяя формулу дискриминанта и формулы корней квадратного уравнения. n 4.Если квадратное уравнение задано в неявном виде, например, биквадратное или в таком виде как было на примере, то придётся применить способ замены переменной.