Теория множеств Теоремы теории множеств. Задание Старейший математик среди шахматистов и старейший шахматист среди математиков – это один и тот же человек.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Теория множеств. Задание Определите перечислением множество четных чисел, меньших 15. множество чисел, кратных 6, меньших 25. Определите заданием характеристического.
Advertisements

1 Задание 1 Даны 2000 множеств, каждое из которых состоит из 45 элементов, причём объединение любых двух множеств содержит ровно 89 элементов. Сколько.
1 Теория множеств Декартово произведение. 2 Задание 1 Пусть А – множество точек отрезка [0, 1]; B – множество точек отрезка [2, 3]; C={4, 5, 6}; D – множество.
Введение в теорию множеств. Введение в теорию множеств 1. Основные определения, терминология Под множеством А мы понимаем совокупность объектов произвольной.
Введение в теорию множеств 1. Основные определения, терминология Под множеством А мы понимаем совокупность объектов произвольной природы, объединенных.
Введение в теорию множеств 1. Основные определения, терминология Под множеством А мы понимаем совокупность объектов произвольной природы, объединенных.
Глава II. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 1. Основные понятия теории множеств Множество – некоторая совокупность объектов, называемых элементами этого множества. Понятие.
1 Теория множеств Декартово произведение. Задание Существуют ли такие множества А, В и С, что А ВØ, А С=Ø и (А В)\С=Ø? Определить множества: {x| y Z,
Теория множеств. Определение Множество одно из ключевых понятий математики, в частности, теории множеств и логики. Понятие множества является одним из.
Данная работа подготовлена для учителей математики и информатики. Имеет цель ознакомления учащихся на уроках и факультативных занятиях. Автор: учитель.
Определение множества Множество – это совокупность однотипных элементов или объектов, объединённых по некоторому признаку. Например, множество книг в.
Кафедра математики и моделирования Старшие преподаватели Е.Д. Емцева и Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 4. Тема: Множество. Операции над множествами.
Понятие множества Операции над множествами Множества конечные и бесконечные.
Содержание: Натуральные числа и действия над ними Натуральные числа и действия над ними Натуральные числа и действия над ними Натуральные числа и действия.
Множества. Операции над множествами. «Множество есть многое, мыслимое нами как единое» (основатель теории множеств – Георг Кантор).
1 1. Множества Понятие множества. Логические символы Под множеством понимают совокупность определенных и отличных друг от друга объектов, объединенных.
1 Кубенский А.А. Дискретная математика Глава 1. Множества и отношения Решетки Решетка – это множество M с определенными на нем двумя бинарными операциями.
Элементы теории множеств. Понятие множества Множество - это совокупность определенных различаемых объектов, причем таких, что для каждого можно установить,
1 2. Матрицы. 2.1 Матрицы и их виды. Действия над матрицами. Джеймс Джозеф Сильвестр.
Понятия теории множеств П онятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических понятий. Оно было введено в математику немецким.
Транксрипт:

Теория множеств Теоремы теории множеств

Задание Старейший математик среди шахматистов и старейший шахматист среди математиков – это один и тот же человек или (возможно) разные? Лучший математик среди шахматистов и лучший шахматист среди математиков – это один и тот же человек или (возможно) разные? Каждый десятый математик – шахматист, а каждый шестой шахматист – математик. Кого больше – шахматистов или математиков и во сколько раз?

Пример доказательства Доказать, что для произвольных множеств A и B если A B, то В A. Необходимо доказать, что В A, поэтому структура доказательства будет иметь вид «Пусть a B, тогда…,…, тогда a A». Пусть a B, тогда по определению дополнения a U \ B. Из определения разности множеств из того, что a U \ B, следует, что a U и a B. По условию задачи известно, что A B, т.е., что все элементы множества A есть в множестве B. Так как a B, то элемента a в множестве B нет, а следовательно его нет и в множестве A. Если элемента a нет в множестве A, то можно записать, что a A. Итак, мы установили, что a U и a A, а это значит, что a A. Аналогично доказывается обратное утверждение если B A, то A B.

Доказать, относительно данного универсального множества U дополнение A любого множества A, если A U, единственно. Для доказательства единственности дополнения A множества A U предположим, что существует два множества B и C, каждое из которых удовлетворяет требованиям дополнения множества A, т.е. их пересечение с A пусто, а объединение с A дает U: а) B A=Ø; б) C A=Ø; в) B A=U; г) C A=U. Очевидно, что B=B U. С учетом условия г) B=B (C A) =. Так как B (C A)=(B C) (B A), то с учетом условия а) B=(B C) Ø=B C. Аналогично, исходя из условий в), б) получим: C=C U=С (B A )= (C B) (C A)=(C B) Ø=C B. Итак, мы получили, что B=B C и C=C B. Так как C B=B C (коммутативность операции пересечения), то B=C, что и требовалось доказать.

Основные законы теории множеств 1. Коммутативность операций и : а) A B=B A б) A B=B A 2. Ассоциативность операций и : а) A (B C)=(A B) C б) A(BC)=(AB) C 3. Законы идемпотентности операций и : а) A A=A б) AA=A 4. Законы дистрибутивности: а) A (BC)=(A B) (A С) б) A(B C)=(AB) (AС) 5. Законы поглощения: а) A (AB)=A б) A(A B)=A 6. Законы де Моргана: а) A B =A B б) A B = A B 7. Законы пустого и универсального множеств: A =A A = A A= A U=U AU=A A A=U U = =U 8. Закон двойного отрицания: A = A

Доказать, что: A A; если A B и B C, то A C; A B A A B; A B B A B; A\B A.

Определить какой знак из множества {=,,, } можно поставить вместо символа «?», чтобы полученное утверждение было верным. {1, 3} ? {1, 2, 3}, {2, 3, 4} ? {1, 2, 3}, {{1, 2}, {2, 3}, {1, 3}} ? {1, 2, 3}, {{1, 2}, {2, 3}} ? {1, 2, 3}, {{1, 2}, {2, 3}, {1, 3}} ? {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}, {(2, 1), (3, 2)} ? {(1, 2), (2, 3)}, {{1, 2}, {2, 3}} ? {{2, 1}, {3, 2}, {1, 3}}, {1, 2, 3} ? {x|x делитель 6}, Ø ? {Ø}.

Определить Какие из равенств верны для любых множеств А, В и С, привести подробное доказательство верных равенств. (A B) C=(А С) (В С); (A B) \ C=(А \ С) В; А \ (В С)=(А \ В) (А \ С); А \ (В С)=(А \ В) (А \ С).

Доказать 1. A B C A C и B C, 2. A BC A B и A C, 3. A B C AB C, 4. A B C\B C\A, 5. AB=A B A=B, 6. A=B AB= и A B=U, 7. A(AB)=B, 8. A B=AB(A B), 9. A B=(AB) (A B),

Доказать 10. A\B=A(A B), 11. AB= A=B, 12. A B= A B=AB, 13. A (B C)=(A B) (A C), 14. (A B) A=(A B) A=A, 15. A (B\A)=, 16. (A B) (C D)=(A C) (B C) (A D) (B D).

Задачи Среди математиков каждый седьмой - философ, а среди философов каждый девятый - математик. Кого больше, философов или математиков? В гимназии все ученики знают хотя бы один из древних язы- ков греческий или латынь, а некоторые оба языка. 85% всех ребят знают греческий язык и 75% знают латынь. Какая часть учащихся знает оба языка? Какие трехзначные числа можно составить из цифр 3, 7 и 1 при условии, что в записи не должно быть одинаковых цифр? Сколько таких чисел?

Задачи Даны 1985 множеств, каждое из которых состоит из 45 элементов, причём объединение любых двух множеств содержит ровно 89 элементов. Сколько элементов содержит объединение всех этих 1985 множеств? Собрались 12 волейболистов и 9 теннисистов, а всего – 16 человек. Сколько из них играют и в волейбол, и в теннис? Множество А содержит 5 элементов, множество В – 4 элемента, а их пересечение содержит 2 элемента. Сколько элементов содержит объединение множеств А и В?

Задание Из 100 студентов педагогику сдали 28 человек, математику - 30 человек, философию - 42 человека, педагогику и математику - 8, математику и философию - 5, педагогику и философию - 10, все три экзамена - 3 человека. Сколько человек не сдало ни одного экзамена? Дано множество А = {1, 2, 3, {1}, {1, 2}}. Укажите, какие из следующих объектов являются элементами множества А, и какие - подмножествами: 2; {2}; {1, 2}; {1, 3}; {1, {1}}; {{1}}; {1, {2}}, {1,2,{1, 2}}.

Задания В Союзе писателей 32 человека, из них 17 поэтов и 19 прозаиков. Сколько человек пишут и стихи и прозу? Из группы студентов на занятия физкультурой ходят 20 человек, а в секции - 18, причем 15 человек одновременно ходят и в секции и на занятия по физкультуре. Сколько студентов освобождены от занятий спортом, если всего в группе 25 человек? Составьте множество двухзначных чисел, в записи которых используются лишь цифры 2, 5 и 8. Найдите пересечение этого множества со множеством четных чисел.