БИК Специальность ПОВТ Дисциплина "Численные методы" 1

План лекции 1.Алгебраические и трансцендентные уравнения 2.Графический метод решения уравнений 3.Отделение корней

(x)=g(x) (1) f(x)=0 (2) - корень уравнения, если f()=0

x -10sin x = 0 2 x - 2cos x = 0 lg (x + 5) = cos x Решить уравнение – это значит: установить, имеет ли оно корни, сколько корней, и найти значение корней с заданной точностью

Задача численного нахождения корней уравнения состоит из двух этапов: отделение корней уточнение корней

Рисунок 1 Рисунок 2 Графический метод решения уравнений

Пример 1. Решить графически уравнение х 3 - 2x 2 + 2х - 1 = 0. Рисунок 3 Рисунок 4 Первый способ. Второй способ. х 3 = 2x 2 + 2х–1 у = х 3 у = 2x 2 + 2х – 1 Ответ: х = 1

Пример 2. Решить уравнение lg х - Зх + 5 = 0. Рисунок 5 Второй способ. lg х = Зх - 5 у = lg х у = Зх - 5 Ответ: x 0,00001 и x 1,75

Пример 3. Решить уравнение 2 х = 2х. Рисунок 6 у = 2 х Ответ: x 1 =1 и x 2 = 2

Отделение корней Корень уравнения f(х) = 0 считается отделенным на отрезке [a,b], если на этом отрезке уравнение f(х) = 0 не имеет других корней

Аналитический метод отделения корней 1) Если непрерывная на отрезке функция F(x) принимает на его концах значения разных знаков, то уравнение F(x)=0 имеет на этом отрезке, по меньшей мере, один корень 2) Если функция F(x) к тому же еще и строго монотонна, то корень на отрезке единственный

Рисунок 7 F(A)*F(B)