Готовимся к ЕГЭ Исследование функции с помощью производной Для работы с презентацией дайте команду «Показ слайдов». Страницы перелистываются по щелчку мыши.

Повторим теорию Производная в заданной точке х о (число) = тангенс угла наклона касательной ( проведенной к графику функции в заданной точке х о )= угловой коэффициент касательной По значению производной (числу) можно сделать вывод о следующих свойствах функции : монотонности (возрастании, убывании); наличии точек экстремума функции (точек максимума, минимума, то есть критических точек) Определить, чему равен угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в заданной точке (другими словами «тангенс угла наклона касательной»)

Геометрический смысл производной Задача: На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке А с абсциссой Найти: Решение: у х 0 1 1В А С

х у 0 х у 0 Функция возрастает - угол наклона касательной < 90 0 (острый) tg > 0 f `(x) > 0 Функция убывает > 90 0 (тупой) tg < 0 f `(x) < 0

Промежутки возрастания и убывания – промежутки монотонности. Достаточный признак убывания : если f (x)< 0 (производная отрицательна), то функция f (x) убывает на данном промежутке. Достаточный признак возрастания : если f (x)> 0 (производная положительна), то функция f (x) возрастает на данном промежутке

Исследование экстремумов функции Необходимое условие экстремума (теорема Ферма) Если точка х 0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f `(x), то она равна нулю: 0 f `(x) =

Теорема Ферма лишь необходимое условие экстремума. Например, производная функции f(x) = x 3 обращается в нуль в точке 0, но экстремума в этой точке функция не имеет. (Подумай, почему ?) X Y

Достаточные условия существования экстремума в точке Признак максимума функции. Если функция f непрерывна в точке х 0, и f `(x) > 0 на интервале (а; х 0 ), и f `(x) < 0 на интервале (х 0 ; b), то точка х 0 является точкой максимума функции f. (производная в точке х 0 равна нулю и меняет знак с + на -) X Y

Достаточные условия существования экстремума в точке Признак минимума функции. Если функция f непрерывна в точке х 0, и f `(x) 0 на интервале (х 0 ; b), то точка х 0 является точкой минимума функции f (производная в точке х 0 равна нулю и меняет знак с – на +) X Y

Функция y=f(x) задана на промежутке (a;b). На рисунке изображен график ее производной Ответьте на вопросы: 1.Сколько у функции точек экстремума? 2. Укажите промежутки убывания и возрастания функции. 3. Назовите точки максимума. 4. Назовите точки минимума. у х y=f (x) b а

Функция y=f(x) задана на промежутке (a;b). На рисунке изображен график ее производной Ответьте на вопросы: 1.Сколько у функции точек экстремума? 2. Укажите промежутки убывания и возрастания функции. 3. Назовите точки максимума. 4. Назовите точки минимума. у х y=f (x) а b

В 8

1)На рисунке изображен график производной функции f(x),определенной на интервале (-9;8). Найдите точки, в которых касательная, проведенная к графику функции, имеет угловой коэффициент, равный 1 ( в ответе укажите количество точек)

1)На рисунке изображен график производной функции f(x),определенной на интервале (-9;8). В какой точке отрезка [0;6] f(x) принимает наибольшее значение.

Ответ: 6

2)На рисунке изображен график производной функции f(x),определенной на интервале (- 5;5). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [-4;4].

Ответ: 3

3)На рисунке изображен график производной функции f(x),определенной на интервале (- 5;5). В какой точке отрезка [-4;-1] f(x) принимает наибольшее значение.

Ответ: -1

4)На рисунке изображен график функции y=f(x),определенной на интервале (-6;6). Най- дите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=-5.

Ответ: 4

5)На рисунке изображен график производной функции f(x),определенной на интервале (- 9;8). В какой точке отрезка [-8;-4] f(x) принимает наименьшее значение.

Ответ: -4

6)На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x o. Найдите значение производной функции f(x) в точке x o.

Ответ: 0.75

7)На рисунке изображен график производной функции f(x),определенной на интервале (- 6;6).Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямойy=-2x+4 или совпадает с ней.

Ответ: 4

8)На рисунке изображен график производной функции f(x),определенной на интервале(-6;12). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Ответ: 3

9)Прямая y=8x-5 параллельна касательной к графику функции y=x²+7x+7.Найдите абсциссу точ- ки касания.

Ответ: 0.5

10) На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой xo.Найдите значение производной функции f(x)в точке xo.

Ответ: -0.25

11)На рисунке изображён график функ- ции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x o. Найдите значение произ- водной функции f(x) в точке x o.

Ответ: 0.5