В ИМ СО РАН доказано, что конечная простая группа и группа, имеющие одинаковый порядок и множество порядков элементов, изоморфны. Спектром группы называется множество порядков ее элементов. В 1987 году В. Ши высказал гипотезу о том, что каждая конечная простая группа однозначно с точностью до изоморфизма характеризуется в классе всех конечных групп ее спектром и порядком. В 1992 году вопрос о справедливости гипотезы Ши был включен в «Коуровскую тетрадь» (вопрос 12.39). Получен положительный ответ на этот вопрос, а именно доказано, что конечная простая группа и группа, имеющие одинаковый порядок и спектр, изоморфны. Решена известная проблема Зейделя об объёмах неевклидовых тетраэдров. В 1986 году Дж. Зейдель сформулировал гипотезу о том, что объем идеального гиперболического тетраэдра можно выразить как функцию от определителя и перманента его матрицы Грама. Несмотря на то, что явная формула для объема указанного тетраэдра известна со времен Лобачевского, проблема долго не поддавалась решению. Десятью годами позже, американские математики И.Ривин и Ф.Лю высказали более сильную гипотезу утверждающую, что объем произвольного неевклидова тетраэдра является функцией определителя его матрицы Грама. Показано, что обе проблемы, в общем случае, решаются отрицательно. При этом установлено, что в классах остроугольных и тупоугольных идеальных тетраэдров проблема Зейделя имеет положительное решение.

Найдены необходимые и достаточные условия однозначной определённости областей в евклидовых пространствах относительной метрикой границы, индуцированной внутренней метрикой области. Относительная метрика на границе области определяется как продолжение по непрерывности внутренней метрики области U. (Напомним, что расстояние по внутренней метрике области U между точками x,y U равно инфимуму длин кривых, лежащих в U и соединяющих x,y.) Чтобы такое продолжение сделать возможным и в случае нерегулярных областей, вводится понятие хаусдорфовой границы, которую можно получить, пополнив область U по Хаусдорфу относительно внутренней метрики и удалив из полученного пополнения точки самой области. Предположим, что хаусдорфовы границы областей изометричны в относительных метриках. Требуется выяснить, в каком случае сами области будут конгруэнтными. Эта задача включает в себя как частный случай классическую задачу об однозначной определенности выпуклых поверхностей их внутренней метрикой, решенную А.В. Погореловым. Сформулированы необходимые и достаточные условия на область, чтобы она однозначно определялась относительной метрикой своей хаусдорфовой границы. При этом на области не налагается никаких априорных предположений о гладкости. Доказано, в частности, что каждая область с ограниченной границей в евклидовом пространстве размерности 3 и выше однозначно определяется указанной метрикой границы.