«Решение задач с параметрами.» Презентация к эллективным занятиям в 11 классе

Главное, что должен усвоить школьник это то, что параметр – это число, хоть и неизвестное, но фиксированное, имеющее двойственную природу. После этих вступительных слов можно спросить у школьников встречались ли они с параметрами. Это линейная функция y = kx + b, где x и y – переменные, k и b – параметры; квадратное уравнение ax 2 + bx + c =0, где x - переменная a, b, c, - параметры. Задачи надо начинать решать с очень простых, постепенно усложняя их.

Пример 1. Сравнить –а и 5а Решение: 1) если а 0, 5 a 5 a 2) если а=0, то –а=0, 5а=0, значит –а=5а 3) если а>0, то –а 0, значит –а0, то– а

Пример 2. Решить уравнение ах=2 Решение: 1) если а=0, то 0х=2, решений нет 2) если а0, то х= Ответ: если а=0, то решений нет если а0, то х=

Пример 3 Решить уравнение (а 2 -9)х=а+3 Решение: 1) если а=3, то 0х=6, решений нет 2) если а=-3, то 0х=0, х 3) если а±3, то а , Ответ: если а=3, то решений нет если а=-3, то x если а±3, то

Пример 4 Решить неравенство: ах0, то 2) если а0, то х< если а

Решение: Ответ: если а=-3, то решений нет если а-3, то х=а.

Решение: 1) если а=-1, то -2х+1+1=0; х=1 2) если а-1,то х=1 или Ответ: если а=-1, то х=1 если а-1,то х=1 или Пример 5 Решить уравнение

Решение: Ответ: если b -4, то x = b. Пример 6 Решить уравнение

Решение: 1) если а0, то х=1 2) если а=0, то x значит х=1 или х=-1 Ответ: если а0, то х=1 если а=0, то х=±1 Пример 7 Решить уравнение

Решение: 1) a) если b=1, то б) если b=-1, то 2) если b ± 1, то неравенство квадратное Пример 8 Решить уравнение

a) Пример 9 Решить неравенство

б) учитывая, что при то Ответ: если b =1, то если b =-1, то если то

Рассмотренные выше задачи требовалось просто решить. В следующих задачах будет поставлено какое-то более «узкое», конкретное условие.

Пример 10 При каких уравнение имеет единственное решение? Решение: 1) если а=0, то х=3 2) если а0, то уравнение квадратное и оно имеет единственное решение при D =0 D=1-12a Ответ: при а=0 или а=

Пример 11 При каких а уравнение имеет единственное решение? Решение: 1) если а=2, то решений нет 2) если а2, то уравнение имеет единственное решение при D =0 Ответ: при а=5

Задачи для самостоятельного домашнего решения задаются с ответами для самоконтроля 1) При каких а уравнение имеет решения, найти их при 2) Решить уравнение: a) (при а=1 или а=3 решений нет; при а1 и а3 х=а)

б) (при а=-2 решений нет; при а-2 х=2) 3) При каких а уравнение имеет ровно три корня (при )

Пример 12 Выяснить, при каких значениях параметра а уравнение имеет: 1) два различных корня; 2) не более одного корня; 3) два корня различных знаков; 4) два положительных корня.

Решение: 1) уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда оно квадратное и D >0. 2) а) если а=4, то б)

3) уравнение имеет два корня различных знаков тогда и только тогда, когда значит 4) уравнение имеет два положительных корня тогда и только тогда, когда

Самостоятельная работа. Вариант I 1. Для всякого а решить уравнение Решение: Т.к. сумма коэффициентов равна 0, то х=1 или х=2а Ответ: 1; 2а. 2. При каких b уравнение имеет единственный корень? Для каждого b найти этот корень. Решение: Квадратное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда D =0

1) если b =12, то 2) если b =-12, то Ответ: при b =12 x =-2 при b =-12 x =2.

3. Для каждого значения параметра решить неравенство: Решение: Решим неравенство методом интервалов, рассмотрев функцию f ( x )=, непрерывную на R, имеющую нули 2, -2, b Рассмотрим три случая: 1)

2) -2

Вариант II Задания аналогичны заданиям варианта I. 1. Ответ: -1; 3а. 2. Ответ: при b=20 x=-2 п ри b=-20 x=2. 3. Ответ: если то если -1< a

Теперь можно приступать к решению задач ЕГЭ с параметрами.

Пример 1. Найти все значения параметра p, при которых уравнение имеет хотя бы один корень. Решение: Рассмотрим функцию f ( a )= определённую на [-1;0) U (0;1] и найдём её область значений. f(-1)=11; f(1)=3; при f (a)=

f (a)=0 Т.к. то экстремумов у функции нет, следовательно E ( f )=(0;11]. Чтобы уравнение а значит и данное уравнение имело хотя бы один корень, необходимо и достаточно, чтобы Ответ:

Пример 2. Найти все значения а, при которых область определения функции содержит ровно одно двузначное натуральное число. Решение: D ( y ): Решим первое неравенство системы:

1) если 0

2) если а >1, то Чтобы решение удовлетворяло условию задачи, необходимо и достаточно, чтобы Ответ:

Пример 3. Найти все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства содержит какой-нибудь отрезок длиной 2,но не содержит никакого отрезка длиной 3 Решение:

Решим неравенство методом интервалов, рассмотрев функцию непрерывную на R \{0}, имеющую нули 4, а: 1) если - решение содержит отрезок длиной 3, что не удовлетворяет условию задачи. 2) если 0

т.е. 3) если аналогично случаю 1) Ответ:

Пример 4. Найти все значения параметра p, при которых уравнение имеет хотя бы один корень, и число различных корней этого уравнения равно числу различных корней уравнения Решение: 1) Пусть =t, тогда

Рассмотрим функцию D ( f )=[0; ), f ( t )=0 t =0. E ( f )=(- ;0 ] f( t )= f( t )

2) Узнаем при каких p уравнение имеет ровно один корень: а) если 2 p +3=0 ( ), то - удовлетворяет условию. б) если то уравнение имеет единственный корень при D =0. D =0 Итак, уравнение имеет ровно один корень при

Но уравнению удовлетворяют только т.е. при и p =-1 уравнения и имеют равное число корней, а именно, по одному. Ответ: ; -1