Динамическая теория дифракции рентгеновских лучей в кристаллах (лекция) В. А. Бушуев Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Москва, Россия Вторая Балтийская школа Методы и инструменты рентгеновских исследований Калининград, 3-7 октября 2013 года

Дорогие коллеги !!! Это не научный доклад в бешенном ритме. Это ЛЕКЦИЯ !!! Поэтому прошу задавать ЛЮБЫЕ вопросы прямо во время чтения лекции !!!!

1. Общие сведения о рентгеновском излучении 2. Уравнения Максвелла 3. Кинематическое приближение 4. А так ли нам она нужна, эта самая динами- ческая теория ?? 5. Основные положения и уравнения динамической теории дифракции. Два подхода к этой теории. 6. Граничные условия. Геометрии Брэгга и Лауэ. Коэффициенты отражения и прохождения. 7. Некоторые примеры Краткий план:

Рентгеновские лучи (X-rays) – электромагнитное излучение с длиной волны r ат d 1 Ангстрема = см = 0.1 нм. Именно поэтому они применяются для.... Энергия рентгеновских фотонов ћ 10 кэВ >> энергии связи не слишком глубоких электронов Открытие X-rays – Вильгельм Конрад Рентген (1895 г.) Нобелевская премия (первая в мире) – 1901 г.... и это всегда приятно напомнить другому физическому, но не рентгеновскому люду, а именно: оптикам, акустикам, магнетологам, радиофизикам, астрономам, гонцами за новыми элементарными частицами, искателями кварков и других темных и скрытых материй, энергий и действенных идей....)...осмелюсь напомнить, что...

Схема эксперимента по регистрации кривой дифракционного отражения (КДО). 1 - рентгеновская трубка, СИ, РЛСЭ; 2 - кристалл-монохроматор, 3 - гониометр, 4 – исследуемый образец, 5 - детектор, S щели....всегда надо танцевать от эксперимента...

, Микроскопические уравнения Максвелла (поле + заряды в вакууме) divE = 4πρ, divH = 0. E = E(r, t), H = H(r, t) – вещественные не усредненные функции координаты r и времени t (никакой мистики). ρ(r, t) = eψψ * – плотность заряда, j(r, t) – ток зарядов, возмущенный эл.-магн. полем.

Макроскопическое уравнение Максвелла Введем поляризацию P и индукцию D: D = E + 4πP Уравнение одно, а неизвестных – два (E, D) ??

Материальное уравнение (линейный случай) χ ij – поляризуемость среды (в общем случае тензор второго ранга). Для стационарных сред: τ = t - t΄. Для кристаллов (трансляционная симметрия) - теорема Блоха

Метод преобразований (интегралов) Фурье где фурье-амплитуды (частотно-угловой спектр) Вопрос: что такое k и ω ??.....волновой вектор и частота – не правильно Немые переменные интегр: k = щ, ы; 1,2,3; синий, красный, серо-буро-малиновый и т.п.

Простейший случай. Излучение в вакууме (P = 0, D = E) Из уравнения Максвелла следует, что k 2 = ( /c) 2 Обычно отвечают, что k = ω/c = 2π/λ. Правильно, но не совсем... Еще говорят, что k = ( /c)n Уже лучше, учтена возможность наличия встречных (обратных) волн, но все равно ответ не полный... кое-что мы потеряли...

Мы чуть не упустили такое решение: k = k΄ + ik΄΄ (комплексный вектор, в вакууме, как это не звучит пародоксально !!!!) Условие прежнее: k 2 = k΄ 2 - k΄΄ 2 + 2ik΄k΄΄ = ω 2 /c 2 Отсюда: k΄ 2 - k΄΄ 2 = k 2 ; k΄k΄΄ = 0. Это плоская неоднородная (эванесцентная) волна. Поверхности равных фаз и амплитуд взаимно ортогональны.

где В рентгеновском диапазоне вдали от краев поглоще- ния связь между P и E локальная и изотропная (!!): 4 P(r, ) = (r, )E(r, ), Индукция D = E + 4 P = E, где = 1 +, - диэлектрическая проницаемость.

При больших частотах смещение электрона x определяется вторым законом Ньютона md 2 x/dt 2 = eE. Отсюда смещение x = (e/m 2 )E, а поляризация P = exn(r), где n(r) - плотность электронов. Фурье-компоненты поляризуемости h где V c объем элементарной ячейки. где n 0 = V c -1 плотность элементарных ячеек, r 0 = e 2 /mc 2

Оценим 0 для кристалла кремния (параметр решетки a = 5.43 A, 8 атомов в ячейке, 14 электронов в атоме). Так как r 0 = см, n 0 = 1/a 3 = см, F 0 = 8 14, то для CuK -излучения ( = 1.54 A) получим, что 0 = Видно, что величина 0 крайне мала и отрицательна. Последнее приводит, в частности, к явлению полного внешнего отражения (ПВО) РЛ (в отличие от полного внутреннего отражения в оптике видимого диапазона, для которого 0 > 0).

Есть два понятия (подхода) в физике рассеяния рентгеновских лучей: 1. Кинематическая теория (а лучше и правильнее сказать – приближение) 2. Динамическая теория (как наиболее точная и адекватная)

Аксиомы кинематической теории 1. Пренебрегаем поглощением ( l

E = E 0 + E (E 1

F h = a f h (m) exp( W h (m) )exp( ihr m ), f h (m) = m n(r)exp( ihr)dr. Здесь F h структурная амплитуда, f h (m) атомный фактор рассеяния m-го атома, r m координата m-го атома в элементарной ячейке, exp( W h (m) ) тепловой фактор Дебая-Валлера. Более строгая теория приводит к f h = f h0 + f h +i f h, где f h0 его потенциальная часть, f h и f h дисперси- онные поправки (их вклад возрастает с приближением энергии квантов к энергиям электронных переходов.

Динамическая дифракция Здесь самосогласованным образом учитывается все: 1. Поглощение, 2. Преломление, иными словами – граничные условия !! 3. И самое главное – многократность процессов рассеяния

Две схемы дифракции: геометрия Брэгга (на отраже- ние) и геометрия Лауэ (на прохождение). Граничные условия R(z = L) = 0 R(z = 0) = 0

Проблемы в динамической теории: (даже в случае идеальных кристаллов)

Y. Feldman, V. Lyahovitskaya, G. Leitus, I. Lyubomirsky, E. Wachtel, V.A.Bushuev, Yu.Rosenberg & G.Vaughan Synchrotron radiation–induced crystallization of amorphous Barium Titanate Oxide membranes // Appl. Phys. Lett. 95, (2009).

В итоге мы приходим к таким состояниям:

....а в кинематике все просто: (!!!)... А так как объекты малы, то и возникает крамольная мысль – а так ли нам она нужна эта самая динамическая теория ??

(безлинзовая X-ray микроскопия) Когерентная рентгеновская дифракция

Что важнее – амплитуда или фаза поля ?? Есть две фотографии – Исаак Ньютон и Бритни Спирс....Оцифровываем изображения и делаем прямые и обратные Фурье-преобразования F=A(Ньютон)exp[i (Бритни Спирс)] Что (кто) получится ??!! Преобразования Фурье

Фурье- амплитуды Фурье- фазы I(x, y) Прямое Фурье-преобразование

Теперь переходим в прямое пространство Фурье- фазы, а все A=1 !! Фурье- амплитуды

Итерационный алгоритм восстановления фазы I.A.Vartanyants (DESY)

Пример реконструкции ( I. Vartanyants, A. Efanov, DESY, 2010 ) Замена амплитуды FFT FFT 1

(r) = h h exp(ihr). Поле в кристалле E(r) = h E h exp(iq h r). где q h = q 0 + h rot rotE = grad divE E E + k 0 2 E = k 0 2 ( E), где k 0 = /c = 2 / величина волнового вектора волны в вакууме с частотой и длиной волны (волновое число). Основное уравнение динамической теории:

Есть два подхода 1. Метод дисперсионного уравнения: E(r) = Aexp(ikr), где A = const, k – неизвестный вектор. 2. Метод уравнений Такаги: E(r) = A(r)exp(ik vac r), где A(r) – неизвестная медленно меняющаяся функция, k vac - известная (как в вакууме).... Все это, конечно, хорошо, однако давно пора вернуться к основной теме лекции – к динамической теории дифракции

h E h = G h G E G, где h = (q h 2 k 0 2 )/k 0 2. Основное уравнение динамической теории (000) (hkl) k0k0 k0k0 + h Сфера Эвальда Что надо найти ?? E h, q h

E(r) = e 0 E 0 exp(iq 0 r) + e h E h exp(iq h r), Дисперсионное уравнение в двухволновом приближении ( 0 0 )E 0 Cχ -h E h = 0, ( h 0 )E h С h E 0 = 0, ( 0 0 )( h 0 ) C 2 χ h χ -h = 0, C = 1 для -поляризации и C = cos2 B для -поляризации.

q 0 = k 0 + k 0 n (2 0 0 )E 0 C χ -h E h = 0, (2 h0 0 )E h C h E 0 = 0, (2 0 0 )(2 h 0 ) Cχ h χ -h = 0, 0 = k 0z / k 0, h = (k 0 + h) z /k 0. В геометрии дифракции Брэгга h 0. Учтем, что h = 2k 0 sin B, получим = k 0 2 (k 0 + h) 2 k 0 2 = 2 sin2 B, где = B (!!!!)

1, 2 = (1/4 0 ){ 0 (1+b) + b [( 0 (1 b) b) 2 + 4bC 2 χ h χ -h ] 1/2 }, Два корня решения дисперсионного уравнения где b = 0 / h - коэффициент асимметрии брэгговского отражения. В геометрии Брэгга b 0. Два корня – автоматически ДВЕ проходящих и ДВЕ дифрагированных волны !!!! R 1,2 = E h (1,2) /E 0 (1,2) = (2 0 1,2 0 )/Cχ -h 0 = sin( + B ), h = sin( B ).

Геометрия Брэгга Граничные условия для амплитуд полей: E 0 (z = 0) = 1, E h (l) = 0. E g (r) = exp[i(k 0 + g)r][E g1 exp(ik 0 1 z) + E g2 exp(ik 0 2 z)], Поле в любой точке кристалла: где g = 0 (проходящая волна), g = h (дифрагированная). Im(ε 1 )Im(ε 2 ) < 0 !!!!

Коэффициент отражения E 01 = 1/(1 p), E 02 = p/(1 p), E g1,2 = R 1,2 E 01,2, p = (R 1 /R 2 )exp[ik 0 ( 1 2 )l]. R E h (0)/E 0 (0) = (R 1 pR 2 )/(1 p). P h ( ) = ( h / 0 ) R 2 (КДО)

a) - кривые дифракционного отражения (220) излучения CuK (1) и AgK (2) от толстого кристалла кремния, b = 1, b) - зависимость фазы отражения от угловой отстройки.

B = C h / b 1/2 sin2 B – ширина КДО. = (γ 0 γ h ) 1/2 / C h - глубина экстинкции. Типичная ширина КДО B 0.1 – 10 угл. сек Типичная глубина экстинкции 1 – 10 мкм

КДО CuK -излучения от кристалла кремния с толщиной l = 1 m (1), 2 m (2) и 10 m (3); симметричное отражение (220). 1 мкм 2 мкм 10 мкм

Кривые дифракционного отражения (220) CuK -излучения от кристалла кремния (a) и угловые зависимости глубины проникно- вения РЛ в кристалл (b). Коэффициент асимметрии отражения b: кривые , 2 - 1,

Геометрия дифракции Лауэ Граничные условия: E 01 = R 2 /(R 1 R 2 ), E 02 = R 1 /(R 1 R 2 ). E 0 (0) = 1, E h (0) = 0. Амплитуды полей в кристалле: 0 = cos( + B ), h = cos( B ),

Кривые дифракционного отражения (1) и прохождения (2) в случае Лауэ для кристаллов с толщиной l = 23 m (a, тонкий кристалл ) и l = 300 m (b, толстый кристалл, эффект Бормана ). CuK -излучение, Si(220), b = 1.

I SP (z, ) = |1 + Rexp(ih z z)| 2. Интенсивность полного поля в кристалле Вблизи поверхности (z

a - КДО (1), угловая зависимость интенсивности полного поля в кристал- ле при z = 0 (2), z = d/4 (3), z = d/2 (4), z = 3d/4 (5); b – пространственное распределение стоячей волны при угловых отстройках = B (1) и = B (2). Вертикальные линии показывают положение атомных плоскостей. CuK -излучение, Si(220), b = 1.

Дифракция на бикристалле пленка подложка d d + Δd l 2dsinθ B = nλ 2(d + Δd)sin(θ B + Δθ 0 ) = nλ Δθ 0 = -(Δd/d)tgθ B

Рекуррентная формула z Подложка 1 2 N N+1

Уравнения Такаги χ d (r)= χ(r – u(r)) χ(r ) = Σ h χ h exp(ihr)

Слоистая среда χ h – поляризуемость идеального кристалла, Φ(z) = hu(z) – фаза, u(z) – смещение атомных плоскостей, exp(-W(z)) – статический фактор Дебая- Валлера.

k 0 – волновой вектор в вакууме, k h = k 0 + h.

α = 2(θ – θ B )sin2θ B Уравнения Такаги

Уравнение Такаги-Топена

Трехкристальная (высокоразрешающая) рентгеновская дифрактометрия МонохроматорКристалл-анализатор Образец Детектор ДР РТ

Структура слоев пористого германия по данным высокоразреша- ющей рентгеновской дифрактометрии Б - брэгговское рассеяние, А – псевдопик кристалла анализатора, М – отраженное от подложки малоугловое рассеяние рентгеновского пучка на пористой структуре, КД - частично когерентное диффузное рассеяние, Д - диффузное рассеяние на нанокристаллитах и нанопорах. Радиус пор нм, нанокристаллиты - 10 нм, степень пористости 56%. Bushuev, Lomov(2002)

Распределение интенсивности рассеяния CuK -излучения на кристалле Si с КТ из Ge в окрестности узла Si(111). ( D d/d = 0.04, r 0 = 10 нм, a z = 2 нм, l 0 = 40 нм, s 0 = 0.2d 0 ) Bushuev (2007)

....а если форма кристалла более сложная ??? Пыль глотать замучаетесь.. (В.В.Путин)

Спасибо за внимание... Но это еще не все – будет еще одна лекция....