Кругом называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, удаленных от заданной точки на расстояние не большее данного. Заданная точка – центр круга, а данное расстояние – радиус круга. круг О – центр круга. ОА – радиус круга... А ω(О, ОА) – граница круга. О

Круг не является простой фигурой, т. к. его нельзя разбить на конечное число треугольников. Такие фигуры имеют площадь, если существуют содержащие её и содержащиеся в ней простые фигуры с площадями бесконечно мало отличающимися от площади данной фигуры. Очевидно, что существует п-угольник, вписанный в окружность и п-угольник, описанный около окружности, площади которых бесконечно мало отличаются от площади окружности (при бесконечно большом значении п).

Площадь круга равна половине произведения длины ограничивающей его окружности на радиус. Дано: Доказать: Доказательство. круг с центром О и радиусом R. S круга = ½ lR F В DА С О α α Построим вписанный и описанный правильные п-угольники Р 1 и Р 2 – простые фигуры. Р 2 содержит круг, а Р 1 содержится в круге. Проведем радиусы в вершины п-угольника Р 1. Получаем п равных треугольников, один из которых АОD. S Р 1 = п SАОD SАОD = ½ АD·ОС = АС·ОС Из прямоугольного АОС:откуда SАОD = АС· АО·соsα, тогда S Р1 = п АС·АО соsα= п ½ АD ·АО соsα = ½ р R соsα,где р – периметр Р 1. Соединим центр окружности с вершинами описанного п-угольника. Получаем п равных треугольников, один из которых ВОF. S Р 2 = п SВОF SВОF = ½ ВF·АО= АВ·АО Из прямоугольного АВС:тогда SВОF = соsα АС ·АО тогда S Р 2 = соsα пАС·АО = (пАС = ½ р) = 2соsα р R ОС = АО·соsα, АВ = АС:соsα,

S Р1 = ½ рR соsα, S Р 2 = 2соsα р R Итак: При п р l, а угол α 0º, значит соsα 1. Получаем, чтоS Р 1 ½ R l и S Р 2 ½ R l, S круга S Р 1 S Р 2 = ½ lR тогда Учитывая, что длина окружности l = 2πR, S круга = ½ R· 2πR=πR². S круга = πR² α α Площадь круга равна произведению π на квадрат радиуса.

Круговым сектором называется часть круга, расположенная внутри соответствующего центрального угла. Построим круги центральный угол. О сектор Площадь кругового сектора вычисляется о формуле: S = πR² 360º α · α,· α, где R –радиус круга, α – градусная мера соответствующего центрального угла.

Круговым сегментом называется общая часть круга и полуплоскости, на которую плоскость разбивает прямая, пересекающая круг. Построим круг. Проведем прямую, пересекающую плоскость. а сегмент Площадь сегмента, не равного полукругу, вычисляется о формуле:

Площадь сегмента, не равного полукругу, вычисляется о формуле: S = πR² 360º · α ± S - S + S α α где α –градусная мера центрального угла, содержащего дугу сегмента, S площади треугольника с вершинами в центре круга и концах радиусов, ограничивающих сектор.