Векторы

Умножение вектора на число Произведением нулевого вектора на число называется такой вектор, длина которого равна, причем векторы и соноправлены при и противоположно направлены при. Произведением нулвого вектора на любое число считается нулевой вектор. Произведением нулевого вектора на число называется такой вектор, длина которого равна, причем векторы и соноправлены при и противоположно направлены при. Произведением нулвого вектора на любое число считается нулевой вектор.

Произведение вектора на число обозначается так: Произведение вектора на число обозначается так: Для любого числа и любого вектора векторы и коллинеарны. Для любого числа и любого вектора векторы и коллинеарны. Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор. Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.

Для любых векторов, и любых чисел, справедливы равенства: Для любых векторов, и любых чисел, справедливы равенства: (сочетательный закон) (сочетательный закон) (первый распределительный закон) (первый распределительный закон) (второй распределительный закон) (второй распределительный закон)

(-1) является вектором, противоположным вектору, т.е. (-1) =-. Длины векторов (-1) и равны:. (-1) является вектором, противоположным вектору, т.е. (-1) =-. Длины векторов (-1) и равны:. Если вектор ненулевой, то векторы (-1) и противоположно направлены. Если вектор ненулевой, то векторы (-1) и противоположно направлены. В ПЛАНИМЕТРИИ В ПЛАНИМЕТРИИ Если векторы и коллинеарны и, то существует число такое, что. Если векторы и коллинеарны и, то существует число такое, что.

Компланарные векторы Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.

На рисунке изображен параллепипед. На рисунке изображен параллепипед. Векторы, и компланарны, так как если отложить от точки О вектор, равный Векторы, и компланарны, так как если отложить от точки О вектор, равный, то получится вектор, а векторы,, то получится вектор, а векторы, и лежат в одной плоскости ОСЕ. Векторы, и не компланарны, так как вектор не лежит в плоскости ОАВ. и лежат в одной плоскости ОСЕ. Векторы, и не компланарны, так как вектор не лежит в плоскости ОАВ.

Признак комплонарности трех векторов Если вектор можно разложить по векторам и, т.е. представить в виде Если вектор можно разложить по векторам и, т.е. представить в виде где и - некоторые числа, то векторы, и компланарны. и компланарны.

Доказательство признака Векторы и не коллинеарны (если векторы и коллинеарны, то компланарность векторов, и очевидна). Отложим от произвольной точки О векторы и (рис.). Векторы и лежат в плоскости ОАВ. В этой же плоскости лежат векторы, Векторы и не коллинеарны (если векторы и коллинеарны, то компланарность векторов, и очевидна). Отложим от произвольной точки О векторы и (рис.). Векторы и лежат в плоскости ОАВ. В этой же плоскости лежат векторы, а следовательно, и их сумма-вектор, а следовательно, и их сумма-вектор, равный вектору. Векторы равный вектору. Векторы лежат в одной плоскости, т.е. векторы, и лежат в одной плоскости, т.е. векторы, и компланарны. компланарны.

Если векторы, и компланарны, а векторы и не коллинеарны, то вектор можно разложить по векторам Если векторы, и компланарны, а векторы и не коллинеарны, то вектор можно разложить по векторам и (т.е. представить в виде ), и (т.е. представить в виде ), причем коэффициенты разложения (т.е. числа и в формуле ) определяются единственным образом. причем коэффициенты разложения (т.е. числа и в формуле ) определяются единственным образом.