Алена довольная пришла из школы и предложила папе заключить сделку: в учебном году 34 недели; за 1 неделю папа даст 1 копейку, за вторую - 2 копейки, за третью - 4 копейки и т.д…. Сколько денег получит Алена за 34 недели? Как вы думаете, в каком классе учится Алена, и что нового она узнала в школе?

Тема урока « Сумма n первых членов геометрической прогрессии»

Слово прогрессия имеет латинское происхождение и означает движение вперед. Любая работа в математике начинается с правил, понятий, которые помогают изучить тему, решать более сложные задания.

Цели урока: Отрабатывать навыки работы с формулами геометрической прогрессии; Показать практическую значимость формулы суммы n членов геометрической прогрессии. Убедиться в том, что алгебра является частью общечеловеческой культуры.

Ход урока Организационный момент. Устная работа Проверка теоретического материала Работа с формулами Задача-легенда Историческая справка Задача на применение темы Задания ГИА Интерактивный тест Итог урока

Устная работа 1)Определите, какая последовательность является геометрической прогрессией 2; 5; 8; 11 …. 2; 1; 0,5; 0,25 -2; -8; -32; -128 … -2; -4; -6; -8; … 3) 2 1 ; 2 2 ; 2 3 ; 2 4 ; …; ) Найдите знаменатель геометрической прогрессии b 2 = 4; b 3 = 16 b 3 = 16; b 4 = 4 b 8 = 9; b 9 = -27 b 9 = -27; b 10 = 9 4) ½ - 1; - 1 ; - 1.

Таблица для заполнения ПрогрессияAрифметическая прогрессияГеометрическая прогрессия 1. Определение. Числовая последовательность, каждый член, которой, начиная со второго равен предыдущему члену сложенному с одним и тем же числом d, ( d – разность арифметической прогрессии) 2. Обозначение. 3. Допустимые значения. - любые 4. Рекуррентная формула., 5. Нахождение разности, знаменателя 6. Формула n-го члена., 7. Характеристи- ческое свойство., 8. Формулы суммы n первых членов.,,

S 64 = 2 - 1= =

S 64 = = 1, стандартный вид данного числа 6419

Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря, и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за 5 он смог бы рассчитаться.

Если считать, что 1 пуд зерна содержит зерен, то для выполнения просьбы потребовалось бы пудов зерна. Если полагать, что в среднем ежегодно собирается пудов зерна, то для выполнения указанной просьбы нашей стране нужно работать (не расходуя ни одного зерна) на протяжении лет.

Понятие числовой последовательности возникло и развивалось задолго до создания учения о функциях. На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий АРХИМЕД (ок. 287–212 гг. до н.э) Термин прогрессия был введен римским автором Боэцием (в 6 веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Названия арифметическая и геометрическая были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки. Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом (в 3 веке). Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида Начала (3 век до н.э.). Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении «Книги абака» в 1202г. (Леонардо Пизанский )

В XVIII в. в английских учебниках появились обозначения арифметической и геометрической прогрессий: Арифметическая Геометрическая А общее правило для суммирования любой конечной геометрической прогрессии встречается в книге Н. Шюке «Наука о числах», увидевшей свет в 1484 году. Наука о числах Англия XVIII век

Древняя Греция Сведения, связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции. Уже в V в. до н. э. греки знали следующие прогрессии и их суммы:

Древний Египет Задача из египетского папируса Ахмеса: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры» Формула, которой пользовались египтяне:

Германия Нашел моментально сумму всех натуральных чисел от 1 до 40, будучи еще учеником начальной школы … = (1 + 40) + (2 + 39) + …… + ( ) = = 820 КАРЛ ГАУСС (1777 – 1855)

«Умение решать задачи – практическое искусство, подобное плаванию или катанию на лыжах, или игре на фортепиано; научиться этому можно лишь подражая избранным образцам и постоянно тренируясь», - говорил Д. Пойа.

Все организмы обладают интенсивностью размножения в геометрической прогрессии Известно, что бактерии размножаются делением: одна бактерия делится на две; каждая из этих двух в свою очередь тоже делится на две, и получаются четыре бактерии; из этих четырех в результате деления получаются восемь бактерий и т. д. Результат каждого удвоения будем называть поколением.

Задача Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две бактерии, каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т.д. Найдите число бактерий, образующихся из одной бактерии к концу суток.

Решение. S 72 = = = = Всего бактерий 4 септиллиона 722 сектиллиона 366 квинтиллионов 482 квадриллиона 869 триллионов 645 миллиардов 709 миллионов 213 тысяч 695

Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн. Таким громадным количеством бактерий можно было бы заполнить около 375 железнодорожных вагонов.

ТЕСТ и Г И А

Живая математика, глава седьмая «Рассказы о числах-великанах» Занимательная алгебра глава восьмая «Прогрессии» Выгодная сделка Городские слухи Лавина дешевых велосипедов Награда Легенда о шахматной доске Быстрое размножение Древнейшая прогрессия Алгебра на клетчатой бумаге Поливка огорода Кормление кур Артель землекопов Яблоки Покупка лошади Вознаграждение воина Задачи на прогрессии есть и в книгах Я.И. Перельмана

1) Алена должна получить = ,83руб 2) О поселковых слухах: Удивительно, как быстро разлетаются по деревне слухи! Иной раз не пройдет и двух часов со времени какого– нибудь происшествия, которое видели всего несколько человек, а новость уже облетела всё село: все о ней знают, все слышали. Итак, задача: В селе жителей. Приезжий в 8.00 рассказывает новость трем соседям; каждый из них рассказывает новость уже трем своим соседям и т. д. Во сколько эта новость станет известна всему селу?