Тема: Квадратный трёхчлен Исследование корней квадратного трёхчлена Автор проекта: Автор проекта: Бикитеев Дмитрий Бикитеев Дмитрий Ученик 10 класса A МОУ СОШ 3 г. Соль-Илецка 2008г.

П Л А Н 1. Введение. 2. Особенности расположения корней квадратного трёхчлена с заданными свойствами на координатной плоскости. 3. Примеры на расположение корней квадратного трёхчлена. 4. Заключение.

Знание свойств квадратного трёхчлена и умение применять их являются необходимыми условиями успешного решения многочисленных задач элементарной математики. Квадратным трёхчленом называется выражение: Приведённым квадратным трёхчленом называют выражение Приведённым квадратным трёхчленом называют выражение Важнейшей теоремой о корнях квадратного трёхчлена является теорема Виета.

Теорема Виета. Между корнями х 1 и х 2 квадратного трёхчлена Между корнями х 1 и х 2 квадратного трёхчлена и коэффициентами этого трёхчлена существует соотношение:

Обратная теорема Виета. Если числа х 1 и х 2 таковы, что х 1 + х 2 = -р; х 1. х 2 = q, то х 1 и х 2 - корни приведённого квадратного трёхчлена х 2 + рх + q х 2 + рх + q Следует иметь в виду, что обратная теорема Виета применима лишь для приведённого квадратного уравнения. Следствие из теоремы Виета. Пусть х 1 и х 2 – корни квадратного трёхчлена х 2 + рх +q, Тогда

Теорема Виета применяется для исследования знаков корней квадратного трёхчлена. Теорема 1. Для того чтобы корни квадратного трёхчлена имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношений: при этом оба корня будут положительны, если дополнительно выполняется условие и оба корня отрицательны, если

Теорема 2. Для того чтобы корни квадратного трёхчлена имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнение соотношения

Решение задач, для которых характерны следующие формулировки: при каких значениях параметра корни(только один корень) больше(меньше, не больше, не меньше) заданного числа р; корни расположены между числами p и q; корни не принадлежат промежутку с концами в точках р и q и т.п.; опирается на утверждения о расположении корней квадратичной функции. следующие формулировки: при каких значениях параметра корни(только один корень) больше(меньше, не больше, не меньше) заданного числа р; корни расположены между числами p и q; корни не принадлежат промежутку с концами в точках р и q и т.п.; опирается на утверждения о расположении корней квадратичной функции.

Оба корня меньше числа А, то есть Условия для корней корней а > 0 а > 0 а < 0 а < 0 х 1

Корни лежат по разные стороны от числа А, а>0а>0а>0а>0 а 0 х1х1 х2х2 А... х1х1.. х2х2 х А А х1х1 х2х2 х Данное условие можно записать одним неравенством а f (A) < 0 а f (A) < 0

Оба корня больше числа А, то есть х1 > A и и и и х2 > A а>0а>0а>0а>0 а А х 2 > А.. х1х1 х2х2 А. А х1х1.. х2х2 х.. А х1х1 х2х2 х Вывод:

Оба корня лежат между точками А и В, Оба корня лежат между точками А и В, т. е. А < х 1 < B и A < х 2 < B a>0a>0 A< x 1

При каких При каких а корни уравнения х 2 -2ах + а 2 - а - 6=0 имеют разные знаки Решение. Необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условиеОтвет:

При каких При каких а уравнение х 2 - 2ах + а 2 - а - 6 = 0 имеет два разных корня одного знака? Решение: откуда или Ответ:

Знание свойств квадратного трёхчлена и умение применять их являются необходимыми условиями успешного решения многочисленных задач элементарной математики.

Факультативный курс по математике. (И.Ф.Шарытин) Дополнительный материал по математике.

Руководитель по проекту : Яковлева Т.П. Консультант по оформлению Егорова О.Н.