п.5. Связь аналитической ФКП и гармонической функции двух действительных переменных

f ( z ) = u( x, y) + i v( x, y ) C ( g ). =>u x = v y ; u y = - v x ; -гармонические функции ( x, y ) g. u = 0; v = 0;

+ u x = v y ; u y = - v x ; f ( z ) = u( x, y) + i v( x, y ) C ( g ).

п.6. Преобразование оператора Лапласа при конформном отображении.

Пусть ( x, y ) g и = f( z ) : = ( x, y ) + i ( x, y ) C ( g ); (, ) D; f '( z ) 0. xy u = u xx + u yy =?

u xx =u x 2 +2u x x +u x 2 +u xx +u xx u x =u x +u x u y =u y +u y u yy =u y 2 +2u y y +u y 2 +u yy +u yy

xy u= u ( x 2 + y 2 )+ 2u ( x x + y y )+ x x + y y = xx + yy = ( xx + yy ) = 0 + u ( x 2 + y 2 )+ u ( xx + yy )+ u ( xx + yy ); x = y, y = - x f ' ( z )= x + i x = x - i y = y + i x =>| f '( z ) | 2 = x 2 + y 2 = x 2 + y 2 ;

xy u = [ 1 / | ' ( ) | 2 ] u (, ) xy u = | f ' ( z ) | 2 u(, ) z = ( ) Уравнение Лапласа: xy u = 0 => u = 0 Уравнение Пуассона: xy u = F( x, y ) => u = ( x, y )

Из формулы среднего значения аналитической функции => формула среднего значения гармонической функции

п.7. Применение конформных отображений в задачах электростатики. +граничные условия

Задача Дирихле Найти

Задача Дирихле в круге

Интеграл Пуассона

Решение задачи Дирихле для верхней полуплоскости Найти

Задача Робэна- распределение заряда на плоской границе. Задача Робэна: u=0 вне С;. u| C =const;. Найти (s)=?

Задача просто решается, если С : |w|=1 Тогда ( s ) = q / 2 = - ( 1/4 ) u / n 0. => u / n 0 | |w|=1 = -2q. Пусть w = f ( z ): => u/ n| C = u / n 0 | |w|=1 n 0 / n | C + + u / 0 | |w|=1 0 / n | C

контур проводящий => Но при конформном отображении нормаль n к С => в нормаль n 0 к |w|=1, меняется лишь ее длина => E = u / 0 = 0 u / n | C = -2q n 0 / n | C ; n 0 / n| C =|f '(z)|| C => u/ n| C = -2 q |f '(z)|| C => (s)= -2q | f '(z)|| C

Пример

граница границу

Замечания Двусторонний отрезок!

§21. Основные понятия операционного исчисления. Операционное исчисление - аппарат интегральных преобразований, позволяющий заменить операции дифференцирования и интегрирования функции действительной переменной (известной или неизвестной, заданной или искомой) на алгебраические операции с параметрами интегральных преобразований.

п.1. Понятие одностороннего преобразования Лапласа. Класс рассматриваемых функций действительной переменной. f ( t ), - < t

1) f ( t ) 0, t < 0; 2) f ( t )- кусочно- непрерывна при t > 0, т.е. для конечного [a,b] f ( t ) имеет лишь конечное число разрывов I рода. 3) M>0, a'>0 : |f(t)|

inf a'=a- показатель степени роста. Класс А(а)- класс функций ограниченной степени роста. Замечания 1) Для f(t)=t n А(0), a=0, т.к. t n 0. 2) f(t)=exp(2t 2 ) А(а) для a

Определение. Односторонним преобразованием Лапласа функции f(t) А(а) называется ФКП F(p): Если F(p), то f(t)-оригинал, F(p)-изображение.

Теорема 21.1 Если f(t) A(a), то F(p) при Re p>a и в области Re p x 0 >a интеграл сходится равномерно по р. Для каких p F(p) ?

Доказательство. Возьмем для x>a; Re p=x a при Re p=x > a' F(p). Существование доказано.

Для доказательства равномерной сходимости интеграла по параметру р в области Re p x 0 >a можно воспользоваться достаточным мажорантным признаком Вейерштрасса. Т.к. |f(t)| a'>a, то |e -pt f(t)|

Замечание. Вспомогательный параметр a' потребовался в доказательстве, чтобы включить в рассмотрение функции класса А(0).

При каких p F(p) – аналитическая? Теорема f(t) A(a). F(p) C (Re p>a). Доказательство

u n (p)-целые функции; по теореме Вейерштрасса => F(p) C (Re p>a).

Замечание. Производная изображения.

п.2. Свойства изображений. (t)- функция Хевисайда. (t) А(0) => =>F(p) C (Re p>0);

2) f(t)=t ; >-1; t А(0); F(p) C (Re p>0);

F(p)- аналитическое продолжение F(x) в правую полуплоскость Re p>0; =>F(p)= ( +1)/p +1 ; Если -дробное, то берется та ветвь корня, которая является непосредственным аналитическим продолжением x +1, x>0.

Частные случаи

3) f( t ) = e t ; Re p > Re ;