НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Дельта-функция Дельта функция это функция, удовлетворяющая следующим условиям

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Перечислим некоторые из свойств дельта – функции Если функция (t) непрерывна в точке t=a, то

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Дельта- функция как предел где p (t) – прямоугольный импульс длительности 2,

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Следствием последнего выражения является важное тождество

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Линейные системы Детерминированная система называется линейной, если при любых числах n, 1,…, n и при любых функциях x 1 (t),…, x n (t) выполняется соотношение Для того чтобы реальная система была линейной необходимовыполнение следующих двух условий: - при поступлении на вход суммы сигналов сигналы на выходе суммируются; - при любом усилении входного сигнала без изменения его формы сигнал на выходе усиливается с тем же коэффициентом без изменения формы.

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Импульсная переходная функция одномерной линейной системы С учетом рассмотренных ранее свойств дельта функции можно записать следующее равенство Откуда с учетом линейности интегрального оператора получим

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Введем обозначение функция g(t, ), определяемая последним выражением, содержит полную характеристику линейной системы и называется импульсной переходной функцией или весовой функцией, откуда Для устойчивости системы необходимо и достаточно выполнение условия

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Стационарные системы Стационарной называется такая система, у которой при любом сдвиге входного сигнала во времени без изменения его формы (т.е. при замене x(t) на x(t-T) при любом Т) выходной сигнал претерпевает тот же сдвиг по времени без изменения своей формы (т.е. y(t) заменяется на y(t-T)). Из определения стационарной системы следует, что импульсная переходная функция стационарной линейной системы зависит только от разности ее аргументов. Действительно из определения стационарности следует при любых t и.

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Передаточная функция стационарной линейной системы Выходной сигнал линейной стационарной физически реализуемой системы может быть представлен в виде Доопределим g(t- ) и x( ) следующим образом

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА тогда выражение для выходного сигнала можно переписать в виде Преобразование Фурье от последнего выражения имеет вид Функция называется передаточной функцией линейной стационарной системы. Передаточная функция и импульсная переходная функция образую пару преобразования Фурье

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Ортогональные функции, полиномы Последовательность функций или полиномов вида называются ортогональной или ортогональной с весом w(t), если выполняются соответственно условия

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Ортогональные функции, полиномы

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Полиномы ортогональные на дискретной системе точек Рассмотрим следующую последовательность полиномов где i, i - пока неизвестные коэффициенты.

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Полиномы ортогональные на дискретной системе точек Откуда при i-1=j получим выражение для i а при i-2=j получим выражение для i-1

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Полиномы Чебышёва первого рода Из тригонометрического тождества полагая в нем для функции находим рекуррентное соотношение.

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Поскольку то при любом n есть полином степени n Полином с единичным коэффициентом при старшем члене имеет вид

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА многочлен ортогонален на интервале [-1, 1] с весом

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Следовательно, для ортонормированных полиномов Чебышёва первого рода получим выражения

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Нули полинома Чебышёва Экстремумы полинома Чебышёва

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Теорема Чебышёва степени n с единичным старшим коэффициентом имеет место неравенство при этом знак равенства возможен только тогда, когда для всякого многочлена

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Полиномы, минимально уклоняющиеся от нуля на произвольном интервале [a, b] могут быть получены из полиномов рассмотренных выше заменой аргумента по формуле откуда следует, что при. При такой замене полином Чебышёва преобразуется к виду

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА и следовательно, полином наименее уклоняющийся от нуля на интервале [a, b] со старшим коэффициентом равны единице будет иметь вид Нули этого полинома расположены в точках

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА