Вычисление значений многочлена. Схема Горнера. При аппроксимации функций, а также в некоторых других задачах приходится вычислять значения многочленов. - презентация

1 Вычисление значений многочлена. Схема Горнера

2 При аппроксимации функций, а также в некоторых других задачах приходится вычислять значения многочленов вида При непосредственном вычислении потребуется выполнить большое число операций умножений и п сложений

3 Теорема Безу Остаток от деления многочлена на двучлен равен значению этого многочлена при Доказательство:, где – многочлен степени на единицу меньшей, чем Найдем значение при что и требовалось доказать Пусть

4 Рассмотрим более простой метод деления многочлена на линейный двучлен Представим многочлен в виде, где или

5 Раскрывая скобки в последнем равенстве имеем После приведения подобных членов имеем

6 Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получим равенства или

7 Вычисления удобно располагать по следующей схеме (называемой схемой Горнера): … … … Этот метод требует n умножений и n сложений.

8 Вычисление значений аналитической функции

9 Действительная функция f(x) называется аналитической в точке если в некоторой окрестности этой точки функция разлагается в степенной ряд (ряд Тейлора): При получаем ряд Маклорена

10 Разность называется остаточным членом и представляет собой ошибку при замене функции f(x) полиномом Тейлора

11 Как известно, где В частности, для ряда Маклорена имеем где Имеются также другие формы остаточных членов.

12 Вычисление значений показательной функции Для показательной функции справедливо разложение Остаточный член ряда имеет вид

13 Приближенное вычисление для малых x удобно вести, пользуясь следующей рекуррентной записью: (k = 1, 2, …, n), где Число приближенно дает искомый результат.

14 Для остатка ряда может быть получена следующая оценка: при Поэтому процесс суммирования может быть прекращен, как только очередной вычисленный член ряда будет по модулю меньше заданной допустимой погрешности:, если только Для больших по модулю значений x этот ряд мало пригоден для вычислений

15 Вычисление значений логарифмической функции Пользуемся разложением по степеням Пусть x – положительное число. Представим его в виде где m – целое число и

16 Тогда, полагая, получим где

17 Обозначив получаем рекуррентную запись, Процесс суммирования прекращается, как только выполнится неравенство где – допустимая погрешность.

18 Вычисление значений синуса и косинуса. Для вычисления значений функций и пользуемся степенными разложениями

19 Эти ряды при больших x сходятся медленно, но, учитывая периодичность функции и и формулы приведения тригонометрических функций, легко заключить, что достаточно уметь вычислять и для промежутка

20 При этом можно использовать следующие рекуррентные формулы:

21 Так как в промежутке ряд знакочередующийся с монотонно убывающими по модулю членами, то для его остатка справедлива оценка

22 Аналогично для ряда Следовательно, процесс вычисления и можно прекратить, как только очередной полученный член ряда по модулю будет меньше допустимой погрешности