Основные понятия «Теории вероятностей» Определения и примеры

Теория и практика Люди играют с кубиком, в "орла или решку", во всевозможные лотереи поскольку уверены в том, что эти игры справедливы, т.е. возможный результат каждого события имеет одинаковую вероятность – в противном случае эти игры просто бы не существовали.

3 Стохастическим называют опыт, если заранее нельзя предугадать его результаты. Результаты (исходы) такого опыта называются событиями.

Теория и практика Если подброшенная на ваших глазах реальная монета 100 раз или хотя бы 10 подряд упала "орлом" вверх, то вы можете быть уверены, что она "неправильная", возможно, фальшивая – у нее явно смещен центр тяжести

Математические модели математическая модель "монета": выпадение "орла" или "решки " имеет одинаковую вероятность. На заре зарождения теории вероятностей были скептики – исследователи, сомневавшиеся в этом вполне очевидном для нас факте и очень много раз подбрасывали монету, но всегда убеждались, что "орел" выпадает в половине случаев. Статистика

Количество выпадений "орла" при многократном подбрасывания монеты раз – для первых бросаний, раз– для вторых бросаний, раз– для всех бросаний. В любом случае частота выпадения "орла" была очень близка к половине.

Математические модели математическая модель «игральная кость»: выпадение каждой грани при многократном бросании кубика имеет одинаковую вероятность.

События и испытания Предметом исследования в теории вероятностей являются события, появляющиеся при определенных условиях, которые можно воспроизводить неограниченное количество раз. Каждое осуществление этих условий называют испытанием Примеры

Примеры испытаний и событий Испытание – бросание игральной кости Событие – выпадение шестерки или выпадение четного числа очков Испытание – взвешивание тела на аналитических весах Событие – ошибка измерения не превзойдет заранее заданного числа

Вероятность случайного события Степень объективной возможности случайного события можно измерять числом. Это число называется вероятностью случайного события. Около этого числа группируются относительные частоты данного случайного события

События могут быть Достоверные Невозможные Случайные Несовместные Независимые Противоположные

Достоверные события Событие называется достоверным, если оно наступает всегда, при любом испытании. Вероятность достоверного события всегда равна 1. Примеры достоверных событий

1. На игральном кубике выпадет меньше семи очков; 2. После лета наступит осень.

Невозможные события Событие называют невозможным, если оно не наступает никогда, то есть благоприятных исходов для него 0. Вероятность невозможного события равна 0. Примеры невозможных событий

1.Падение монеты на ребро 2.Выпадение на игральной кости семерки

Случайные события Событие называется случайным, если при одних и тех же условиях оно может как произойти, так и не произойти. Примеры случайных событий

1.Выпадение на игральном кубике четного числа очков; 2.Выпадение орла при бросании монеты; 3.Выигрышное сочетание чисел на карточках русского лото.

Несовместные события События A и B называются несовместными, если они не могут наступить одновременно, или, на языке множеств, A B =. Примеры несовместных событий

1.При бросании двух кубиков выпадение нечетной суммы очков и равных чисел на обоих кубиках; 2.Из короба с разноцветными шарами вытащить 2 шара. Несовместными будут события: оба шара красные и оба шара синие.

Независимые события События A и B называются независимыми, если вероятность их произведения равна произведению их вероятностей: P(AB) = P(A) P(B). Примеры независимых событий

1.На обоих кубах выпадет шестерка; 2.При подбрасывании двух монет выпадут два орла; 3.При вытаскивании двух шаров из урны оба шара будут красными.

Противоположные события С каждым событием A связано противоположное событие, состоящее в том, что событие A не осуществляется. Противоположные события, очевидно, несовместны. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1 Примеры противоположных событий

1.На кубике выпадет четное число и на кубике выпадет нечетное число; 2.Монета упала орлом вверх и монета упала вверх решкой; 3.Лампа горит и лампа не горит.

Укажите, какое из следующих событий достоверное, какое – невозможное и какое случайное: а) летних каникул не будет; б) бутерброд упадет маслом вниз; в) учебный год когда-нибудь закончится.

Петя и Толя сравнивают свои дни рождения. Укажите, какое из следующих событий достоверное, какое – невозможное и какое случайное. Событие состоит в следующем: а) их дни рождения не совпадают; б) их дни рождения совпадают; в) Петя родился 29 февраля, а Толя – 30 февраля; г) дни рождения обоих приходятся на праздники – Новый год (1 января) и День независимости России (12 июня); д) дни рождения в этом году.

26 Полной группой событий называется множество всех событий рассматриваемого опыта, одно из которых обязательно произойдет, а любые два других несовместны. Пример: 1) Опыт – один раз выбрасывается монета. Элементарные события: выпадение орла и выпадение решки образуют полную группу. События образующие полную группу называют элементарными.

27 Вероятностью случайного события А называется отношение числа элементарных событий, которые благоприятствуют этому событию, к общему числу всех элементарных событий, входящих в данную группу. P(A) = m/n Классическое определение вероятности

Примеры задач на вычисление вероятностей случайных событий З а д а ч а 1. Бросаются два кубика. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6. Р е ш е н и е.

Решение задачи 1 ( н а ч а л о) Бросаются два кубика. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6. Результат каждого бросания – это пара чисел (a, b), где a и b – числа от 1 до 6. Поэтому все поле событий состоит из 6х6 = 36 элементов

Решение задачи 1 ( продолжение) Благоприятным исходом для рассматриваемого события является любая пара (a, b), для которой a + b = 6. Подсчитаем, сколькими способами число 6 можно представить в виде суммы двух натуральных чисел от 1 до 6. Это можно сделать пятью следующими способами: 6 = = = = = 5 + 1, Таким образом, вероятность заданного события равна 5/

В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики, остальные из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады. 31 Благоприятное событие А: первой выступает спортсменка из Канады К-во благоприятных событий: m=? К-во всех событий группы: n=? Соответствует количеству гимнасток из Канады. m=50-(24+13)=13 Соответствует количеству всех гимнасток. n=50

В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. 32 Благоприятное событие А: выбранный насос не подтекает. К-во благоприятных событий: m=? К-во всех событий группы: n=? Соответствует количеству исправных насосов m= =1386 Соответствует количеству всех насосов. n=1400

Фабрика выпускает сумки. В среднем на 190 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. 33 Благоприятное событие А: купленная сумка оказалась качественной. К-во благоприятных событий: m=? К-во всех событий группы: n=? Соответствует количеству качественных сумок. m=190 Соответствует количеству всех сумок. n=190+8

В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых. 34 Опыт: выпадают три игральне кости. Благоприятное событие А: в сумме выпало 7 очков. К-во благоприятных событий m=? К-во всех событий группы n=? 1-я кость - 6 вариантов 2-я кость - 6 вариантов 3-я кость - 6 вариантов

35 В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу. Условие можно трактовать так: какова вероятность того, что все четыре раза выпадет решка? К-во благоприятных событий m=? К-во всех событий группы n=? m=1 Четыре раза выпала решка. 1-й раз - 2 варианта 2-й раз - 2 варианта 3-й раз - 2 варианта 4-й раз - 2 варианта

В урне 3 белых и 9 черных шаров. Из урны наугад вынимается 1 шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется черным? Решение: Количество всех возможных результатов n=3+9=12. Опытов, в результате которых может быть вынут черный шар m=3. Ответ: 0, 25

Брошена игральная кость. Какова вероятность событий: А- выпало 1 очко; В- выпало 2 очка? Решение: Количество всех возможных результатов n=6 (все грани). а) Количество граней, на которых всего 1 очко m=1: б) количество граней, на которых всего 2 очка m=1: Ответ: и

Брошены 2 игральные кости. Какова вероятность событий: А- выпадения в сумме не менее 9 очков; В- выпадения 1 очка по крайней мере на одной кости? Решение: I II Получили, что возможно n=36 результатов испытаний

Для события А получаем: m=10:

Для события В получаем: m=11: Ответ:

Монета брошена 2 раза. Какова вероятность события: А- выпадет одновременно два герба? Решение: Сколько всего возможно результатов опыта? Таким образом, всего возможно результатов n=4, нас интересующий результат возможен только один раз m=1, поэтому ГГ,ГР,РГ,РР Ответ: 0,25

Набирая номер телефона вы забыли последнюю цифру и набрали её наугад. Какова вероятность того, что набрана нужная вам цифра? Решение: n=10 Сколько всего цифр? Вы забыли только последнюю цифру, значит m=? Тогда, Ответ: 0,1

Из слова «математика» выбирается наугад одна буква. Какова вероятность того, что это будет буква «м»? Решение: n – количество букв в слове, а m - количество нужной нам буквы «м». Ответ: 0,2

В коробке имеется 3 кубика: чёрный, красный и белый. Вытаскивая кубики наугад, мы ставим их последовательно друг за другом. Какова вероятность того, что в результате получится последовательность: красный, чёрный, белый? Сколько всего возможно результатов опыта? Пусть Ч – черный кубик, К – красный кубик, Б – белый кубик, тогда ЧКБ, ЧБК, БЧК, БКЧ, КЧБ, КБЧ. Решение: n=6 Ответ:

В мешке 50 деталей, из них 5 окрашено. Наугад вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что данная деталь окрашена. Решение: Сколько всего возможно результатов опыта? Сколько можно вынуть деталей и окрашенных, и неокрашенных? n=50 Из них можно вынуть только 5 окрашенных деталей, поэтому m=5 Таким образом, получаем: Ответ: 0,1

Из урны, в которой находится 4 белых, 9 чёрных и 7 красных шаров, наугад вынимают один шар. Какова вероятность событий: А- появление белого шара; В- появление чёрного шара; С- появление красного шара; D- появление зелёного шара? Решение: Количество всех возможных результатов n=4+9+7=20. Опытов, в результате которых может быть вынут белый шар m=4. Опытов, в результате которых может быть вынут черный шар m=9. Опытов, в результате которых может быть вынут красный шар m=7. Опытов, в результате которых может быть вынут зеленый шар m=0 и P(D)=0. Ответ:

Две грани симметричного кубика окрашены в синий цвет, три – в зелёный, и одна – в красный. Кубик подбрасывают один раз. Какова вероятность того, что верхняя грань кубика окажется зелёной? Решение: Сколько всего возможно результатов опыта? У кубика всего 6 граней, поэтому возможно 6 результатов опыта: n=6 Как найти m? Для этого нужно посчитать грани кубика, интересующего нас цвета, т.е. m=3 Тогда вероятность того, что верхняя грань кубика окажется зеленой будет равна: Ответ: 0,5

Цифры 1,2,3,…, 9, выписанные на отдельные карточки, складывают в ящик и тщательно перемешивают. Наугад вынимают одну карточку. Найти вероятность того, что число, написанное на этой карточке: а) чётное; б) нечётное; в) однозначное; г) двухзначное.

Решение: Общее количество опытов – это количество карточек, которые будут сделаны по условию задачи: n=9 а) Чётные числа от 1 до 9 – 2, 4, 6, 8 m=4 Тогда, б) Нечётные числа 1, 3, 5, 7, 9, m=5Тогда, в) Все числа от1 до 9 однозначные, т.к. состоят из одного знака m=9,тогда, г) Соответственно, двухзначных чисел среди них нет и m=0 и Ответ:

Примеры задач на вычисление вероятностей случайных событий З а д а ч а Один стрелок делает 80% попаданий, а другой (при тех же условиях стрельбы) 70%. Найти вероятность поражения цели, если оба стрелка стреляют в нее одновременно. Цель считается пораженной при попадании в нее хотя бы одной их двух пуль. Р е ш е н и е (1 способ) Р е ш е н и е (2 способ) Р е ш е н и е (3 способ)

Решение задачи 2 (1 способ) Один стрелок делает 80% попаданий, а другой (при тех же условиях стрельбы) 70%. Найти вероятность поражения цели, если оба стрелка стреляют в нее одновременно. Цель считается пораженной при попадании в нее хотя бы одной их двух пуль. Допустим, что производится 100 двойных выстрелов. Примерно в 80 из них цель будет поражена первым стрелком. Остается около 20 выстрелов, в которых этот стрелок даст промах. Так как второй стрелок поражает в среднем 70 раз из 100 выстрелов и, значит, 7 раз из 10 выстрелов, то мы можем ожидать, что в тех 20 выстрелах, в которых первый стрелок даст промах, второму удастся поразить цель примерно 14 раз. Таким образом, при всей сотне выстрелов цель окажется пораженной = 94 раза. Вероятность поражения цели при одновременной стрельбе этих двух стрелков равна поэтому 94%, или 0,94.

Решение задачи (2 способ) Один стрелок делает 80% попаданий, а другой (при тех же условиях стрельбы) 70%. Найти вероятность поражения цели, если оба стрелка стреляют в нее одновременно. Цель считается пораженной при попадании в нее хотя бы одной их двух пуль. Вероятность попадания Первого стрелка 0,8 Второго стрелка 0,7 Вероятность не попадания Первого стрелка 1 - 0,8 = 0,2 Второго стрелка 1 - 0,7 = 0,3 Цель будет поражена, если первый стрелок попадет, а второй нет 0,80,3 = 0,24 второй стрелок попадет, а первый нет 0,70,2 = 0,14 оба стрелка попадут 0,80,7 = 0,56 Значит, цель будет поражена с вероятностью 0,24 + 0,14 + 0,56 = 0,94

Решение задачи (3 способ) Один стрелок делает 80% попаданий, а другой (при тех же условиях стрельбы) 70%. Найти вероятность поражения цели, если оба стрелка стреляют в нее одновременно. Цель считается пораженной при попадании в нее хотя бы одной их двух пуль. Вероятность попадания Первого стрелка 0,8 Второго стрелка 0,7 Вероятность не попадания Первого стрелка 1 - 0,8 = 0,2 Второго стрелка 1 - 0,7 = 0,3 Цель не будет поражена, если оба стрелка не попадут 0,20,3 = 0,06 Значит, цель будет поражена с вероятностью 1 - 0,06 = 0,94

Условная вероятность Условной вероятностью события В при условии А называют отношение Вероятность события В в новых условиях: когда уже известно, что событие А произошло.

Условная вероятность Формула вычисления вероятности события В при условии, что произошло событие А, но могло иметь место еще и событие С. Пример использования такой обобщенной формулы рассмотрен далее.

Примеры задач на вычисление вероятностей случайных событий З а д а ч а Пусть в некотором классе 25 учеников, из них 2 "отличника", 12 "твердых хорошистов", 9 "троечников", а остальные 2 – "отстающие". Проверяя контрольную работу, учитель поставил 5 за одну работу, которая оказалась неподписанной. Прав ли он, считая, что она принадлежит "отличнику", если вероятность получения пятерки соответственно равна: Отличник 0,9 Хорошист 0,7 Троечник 0,3 Отстающий 0,1? Р е ш е н и е.

Решение задачи 3 ( н а ч а л о) Если событие A – это поставленная пятерка за "анонимную" работу, то надо найти условную вероятность события P(B|A), где B – событие, при котором неподписанная работа принадлежит одному из отличников. буквами C, D, E обозначены события, при которых пятерку получил соответственно "хорошист", "троечник" и "отстающий".

Решение задачи 3 ( продолжение) Значит, По условию Из 25 учеников 2 "отличника", 12 "хорошистов", 9 "троечников", 2 "отстающие". Неподписанная работа принадлежит B - одному из отличников, С - одному из хорошистов, D - одному из троечников, E - одному из отстающих.

Решение задачи 3 ( продолжение) По условию Из 25 учеников 2 "отличника", 12 "хорошистов", 9 "троечников", 2 "отстающие". Неподписанная работа принадлежит B - одному из отличников, С - одному из хорошистов, D - одному из троечников, E - одному из отстающих. Учитывая то, что анонимную работу написал только один ученик, рассмотрим вероятность того, что работу написал отличник, а не хорошист, не троечник и не отстающий работу написал хорошист, работу написал троечник, работу написал отстающий.

Решение задачи 3 ( окончание) Подставим полученные значения в формулу