Автор: Ланских Е.В., учитель математики Лицея «ИСТЭк», г.Краснодара, 2012 год.

Построение линии пересечения двух плоскостей Построение сечения тетраэдра Построение сечения параллелепипеда

Дано: SАВС – тетраэдр, МєSA, NєSB, PєSC Построить: линию пересечения плоскостей (АВС) и (MNP). 1) Найдем точку пересечения прямых MN и АВ ( эти прямые лежат в одной плоскости (SBA). АB C S M N P К Построение: К – точка пересечения прямых MN и АВ. 2) Найдем точку пересечения прямых NP и ВC. ( эти прямые лежат в одной плоскости (SBC). H – точка пересечения прямых NР и ВС. H

АB C S M N P К H 3) Точки К и Н лежат в плоскости (MNP), так как принадлежат прямым MN и NP, а также лежат в плоскости (АВС), так как принадлежат прямым АВ и ВС. Значит, прямая НК – это прямая пересечения двух плоскостей (АВС) и (MNP). Замечание: На прямой КН будут лежать все общие точки плоскостей (АВС) и (MNP), в том числе и точка пересечения прямых МР и АС – точка F(данные прямые лежат в плоскости SAC). F

Дано: АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 – параллелепипед, МєB 1 C 1, NєCC 1, PєA 1 B 1 Построить: линию пересечения плоскостей (АВС) и (MNP). А ВС D А1А1 В1В1 С1С1 D1D1 M N P Построение: 1) Найдем точку пересечения прямых MN и ВC ( эти прямые лежат в одной плоскости (BCC 1 ). K К – точка пересечения прямых MN и ВC. 2) Найдем точку пересечения прямых MP и A 1 D 1. ( эти прямые лежат в одной плоскости (A 1 B 1 C 1 ). H H – точка пересечения прямых MР и A 1 D 1.

А ВС D А1А1 В1В1 С1С1 D1D1 M N P K H 3) Точка К принадлежит плоскости (АВС). Нам надо получить вторую точку в этой плоскости, которая будет принадлежать и плоскости (MNP). Вспомним свойство параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения этих плоскостей параллельны. 4) Плоскости (ADD 1 ) и (ВСС 1 ) параллельны и пересечены плоскостью (MNP), значит прямые пересечения плоскостей параллельны. G MN II HG. Прямая HG пересекает ребра АА 1 и АD, так как лежит в плоскости (ADD 1 )

А ВС D А1А1 В1В1 С1С1 D1D1 M N P K H G 5) Точки К и G принадлежат плоскости (АВС) и одновременно принадлежат плоскости (MNP), значит, прямая КG – прямая пересечения плоскостей (MNP) и (АВС). Замечание: Прямая КG параллельна прямой РМ, так как плоскости (АВС) и (А 1 В 1 С 1 ) параллельны и пересечены плоскостью (MNP).

Дано: SАВС – тетраэдр, МєSС, NєSB, PєАC Построить: сечение тетраэдра плоскостью (MNP). А B C S M N P Построение (1 способ): 1) Найдем точку пересечения прямых MN и ВС ( эти прямые лежат в одной плоскости (SBС). К – точка пересечения прямых MN и ВC. 2) Точки К и Р лежат в плоскости (АВС), так как К принадлежит ВC и Р принадлежит АС. Значит, прямая КР лежит в плоскости (АВС) и пересекает ребро AВ в точке Н. Н К

3) Точки М и Р лежат в плоскости (SAС), их можно соединить отрезком. 4) Точки N и H лежат в плоскости (SAB), их можно соединить отрезком. 5) PMNH – сечение тетраэдра плоскостью (MNP). А B C S M N P Н К

А B C S M N P H Построение (2 способ): 1) Найдем точку пересечения прямых MP и SA ( эти прямые лежат в одной плоскости (SAС). F 2) Точки F и N лежат в плоскости (SАВ), так как F принадлежит SА и N принадлежит SB. Значит, прямая FN лежит в плоскости (SАВ) и пересекает ребро AВ в точке H. F – точка пересечения прямых MP и SA.

А B C S M N P H F 3) Точки P и H лежат в плоскости (ABС), их можно соединить отрезком. 4) Точки M и N лежат в плоскости (SBC), их можно соединить отрезком. 5) PMNH – сечение тетраэдра плоскостью (MNP).

Дано: АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 – параллелепипед, МєAD, NєD 1 C 1, PєA 1 B 1 Построить: сечение плоскостью (MNP). А ВС D А1А1 В1В1 С1С1 D1D1 M N P Построение: 1) Найдем точку пересечения прямых РN и A 1 D 1 ( эти прямые лежат в одной плоскости (A 1 D 1 C 1 ). K K – точка пересечения прямых NP и A 1 D 1. 2) Точки K и M лежат в плоскости (АDD 1 ), так как K принадлежит А 1 D 1 и M принадлежит AD. Значит, прямая KM лежит в плоскости (ADD 1 ) и пересекает ребро AA 1 в точке H. H

А ВС D А1А1 В1В1 С1С1 D1D1 M N P K H 3) Точки H и Р лежат в плоскости (ABB 1 ), их можно соединить отрезком. 4) Найдем точку пересечения прямых HM и DD 1, они лежат в плоскости (АDD 1 ). L L – точка пересечения прямых HM и DD 1. 5) Точки L и N лежат в одной плоскости (DCC 1 ), L лежит на прямой DD 1, N лежит на прямой D 1 C 1. Значит, прямая LN лежит в плоскости (DCC 1 ) и пересекает ребро DC в точке F. F

А ВС D А1А1 В1В1 С1С1 D1D1 M N P K H L F 3) Точки M и F лежат в плоскости (ABС), их можно соединить отрезком. 4) PNFMH – сечение параллелепипеда плоскостью (MNP). Замечание: Точку F можно было достроить используя параллельность плоскостей (АВВ 1 ) и (DCС 1 ). Линии пересечения данных плоскостей плоскостью (MNP) параллельны, т.е. PH II NF.