Квадратичная функция.

Содержание: Определение квадратичной функции. Определение квадратичной функции. Функция y = x 2. Функция y = x 2. Функция y = ax 2. Функция y = ax 2. Функция y = ax 2 + bx + c. Функция y = ax 2 + bx + c. Построение графика квадратичной функции. Построение графика квадратичной функции.

Определение квадратичной функции. Функция y = ax 2+ bx + c, где a, b и c – заданные действительные числа, а0, х – действительная переменная, называется квадратичной функцией. Например, квадратичными являются функции: y = x 2 y = -2x 2 y = x 2 – х y = x 2 – 5х +5 y = -3x 2 + 0,5х

Функция y = x 2. y = x 2, т. е. квадратичную функцию y = ax 2 + bx + c при а=1, b=c=0. Для построения графика этой функции составим таблицу ее значений: Рассмотрим функцию y = x 2, т. е. квадратичную функцию y = ax 2 + bx + c при а=1, b=c=0. Для построения графика этой функции составим таблицу ее значений: y = x х y = x 2. Кривая являющаяся графиком функции y = x 2 называется параболой. Построив указанные в таблице точки и соединив их плавной кривой, получим график функции y = x 2. Кривая являющаяся графиком функции y = x 2 называется параболой.

1). Значение функции y = x 2 положительно при х 0 и равно нулю при х = 0. парабола у = х 2 проходит через начало координат, а остальные точки параболы лежат выше оси абсцисс. Говорят, что парабола у = х 2 касается оси абсцисс в точке (0;0). Свойства функции y = x2. 2). График функции y = x 2 симметричен относительно оси ординат, так как (-х) 2 = х 2. Т.о. ось ординат является осью симметрии параболы. Точку пересечения параболы с осью симметрии называется вершиной параболы. Для параболы y = x 2 вершиной является начало координат. Для параболы y = x 2 вершиной является начало координат. 3). При х0 большему значению х соответствует большее значение у. Говорят, что функция y = x 2 является возрастающей на промежутке х0. При х0 большему значению х соответствует меньшее значение у. Говорят, что функция y = x 2 является убывающей на промежутке х0.

Функция y = ax у=2х х Построим графики функций у = 2х 2 и у = 1 / 2 х 2. у = 2х 2 у = 1/2х 2 4,520,50 24,5у= 1 / 2 х х

Сравним у = 2х 2 и у = х 2. График функции у = 2х 2 получается растяжением графика функции у = х 2 от оси Ох вдоль оси Оу в 2 раза. Сравним у = 1/2х 2 и у = х 2. График функции у =1/2х 2 получается сжатием у = х 2 к оси Ох вдоль оси Оу в 2 раза. y = x 2

Построим график функции у = - х 2. Сравним у = - х 2 и у = х 2. При одном и то же х значения этих функций равны по модулю и противоположны по знаку,график у = - х 2 можно получить симметрией относительно оси Ох графика функции у = х 2.

Основные свойства функции y = ax 2, где а 0. Если а>0,то функция y = ax 2 принимает положительные значения при х 0; если а 0,то функция y = ax 2 принимает положительные значения при х 0; если а0, то функция y = ax 2 возрастает при х0 и убывает при х0; если а 0, то функция y = ax 2 возрастает при х0 и убывает при х0; если а

Функция y = ax2 + bx + c. y = x 2 - 2x + 3 и сравним его с графиком функции y = x 2. Построим график функции y = x 2 - 2x + 3 и сравним его с графиком функции y = x 2. y = x 2 - 2x y = x 2 - 2x х Построим найденные точки и проведем через них плавную кривую.

Для сравнения графиков преобразуем формулу y = x 2 - 2x + 3, используя метод выделения полного квадрата: y = x 2 -2x+1+2=(х-1) Сначала сравним графики функций у = х 2 и у = (х-1) 2. Заметим, что если (х 1 ; у 1 ) – точка параболы у = х 2, т.е. у 1 = х 1 2, то точка (х 1 +1;у 1 ) принадлежит графику функции у = (х-1) 2, т.к. ((х 1 +1)-1) 2 = х 1 2 = у 1. Следовательно, графиком функции у = (х - 1) 2 является парабола, является парабола, полученная из параболы у = х 2 сдвигом вправо на единицу.

у = (х - 1) 2 у = (х - 1) 2 у = (х - 1) 2 у = (х - 1) 2 у = (х - 1) 2 у = (х - 1) 2 Теперь сравним графики функций у = (х - 1) 2 и у = (х - 1) При каждом х значение функции у = (х - 1) 2 +2 больше значения функции у = (х - 1) 2 на 2. Следовательно, графиком функции у = (х - 1) 2 +2 является парабола, полученная сдвигом параболы у = (х - 1) 2 вверх на две единицы.

Итак, графиком функции y = x 2 - 2x + 3 является парабола, получаемая сдвигом параболы y = x 2 на единицу вправо и на две единицы вверх. Осью симметрии параболы y = x 2 - 2x + 3 является прямая, параллельная оси ординат и проходящая через вершину параболы – точку (1; 2).

Аналогично доказывается, что графиком функции у = а(х-х 0 ) 2 + у 0 является парабола, получаемая сдвигом параболы y = ax 2 : вдоль оси абсцисс вправо на х 0, если х 0 >0, влево на|х 0 |, если х 0 0, влево на|х 0 |, если х 0 0, вниз на |у 0 |, если у 0 0, вниз на |у 0 |, если у 0

Т.о., графиком функции y = ax 2 + bx + c является парабола, получаемая сдвигом параболы y = x 2 вдоль координатных осей. Равенство y = ax 2 + bx + c называют уравнением параболы. Координаты (х 0 ; у 0 ) вершины параболы y = ax 2 + bx + c можно найти по формулам х 0 = - b/2a, у 0 = у(х 0 ) = ax bx 0 + c. Ось симметрии параболы y = ax 2 + bx + c – прямая, параллельная оси ординат и проходящая через вершину параболы. Ветви параболы y = ax 2 + bx + c направлены вверх, если а>0, и направлены вниз, если а 0, и направлены вниз, если а

Алгоритм построения графика квадратичной функции. I. П остроить вершину параболы (х0; у0), вычислив х0, у0 по формулам х0 = - b/2a, у0 = у(х0). II. П ровести через вершину параболы прямую, параллельную оси ординат, - ось симметрии параболы. III. Н айти нули функции, если они есть, и построить на оси абсцисс соответствующие точки параболы. IV. П остроить две какие – нибудь точки параболы, симметричные относительно её оси. Для этого надо взять две точки на оси Ох, симметричные относительно точки х0, и вычислить соответствующие значения функции (эти значения одинаковы).Например, можно построить точки параболы с абсциссами х=0 и х=2х0, если х00(ординаты этих точек равны с ). V. П ровести через построенные точки параболу. Заметим, что для более точного построения графика полезно найти ещё несколько точек параболы.

Отметим, что функция y = ax 2 + bx + c принимает наименьшее или наибольшее значение в точке х 0 = - b/2a, которая является абсциссой вершины параболы. Значение функции в точке можно найти по формуле у 0 = у(х 0 ). Если а>0, то функция имеет наименьшее значение, а если а 0, то функция имеет наименьшее значение, а если а