Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Реферат «Собственные значения и собственные векторы» Выполнил: студент гр.2л31 Мартыщенко Ж.Д Принял: Тарбокова Т.В

Определение Пусть A - n ×n матрица. Действительное число λ является собственным значением A тогда и только тогда, когда существует ненулевой n -вектор x, такой, чтоAx = λx. Соответственно, любой ненулевой вектор x, такой, что Ax = λx является собственным вектором, соответствующим собственному значению λ. Собственные значения

3 Рассмотрим квадратную матрицу n-ого порядка: Собственные значения i квадратной матрицы A есть действительные или комплексные числа, удовлетворяющие условию : E – единичная матрица, - собственный вектор матрицы A, соответствующий некоторому собственному значению.

ПРИМЕР 1. Рассмотрим 3×3 матрицу Заметим, что λ =2 является собственным значением для A, так как А

Характеристический многочлен матрицы Матрица называется характеристической матрицей матрицы A. Т.к. в матрице по главной диагонали стоят, а все остальные элементы равны нулю, то характеристическая матрица имеет вид: Определитель этой матрицы называется характеристическим определителем и равен:

В развернутом виде он является многочленом n-ой степени относительно, т.к. при вычислении этого определителя произведение элементов главной диагонали дает многочлен со старшим членом, т.е. называется характеристическим многочленом. Корни этого многочлена – собственные значения или характеристические числа матрицы A. Числа называются коэффициентами характеристического многочлена. Ненулевой вектор называется собственным вектором матрицы A

Для определения координат собственного вектора составляется характеристическое уравнение:. Переписав его в векторном виде и выполнив умножение, получим систему линейных однородных уравнений:

Некоторые свойства собственных значений векторов Все n собственных значений любой симметричной матрицы (aij=aji; i,j = 1,2, …,n) вещественны. Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям симметричной матрицы, ортогональны :, при и,,при Собственный вектор матрицы, умноженный на произвольное число, также является собственным вектором. Подобные матрицы где P – неособая матрица, имеют одинаковые собственные значения, их собственные вектора связаны соотношением:

Метод итераций Пустьхарактеристическое уравнение; - его корни, являющиеся собственными значениями матрицы Предположим, что,т.е. наибольшее по модулю собственное число. Тогда для нахождения приближенного значения корня используется следующая схема: произвольно выбирают начальный вектор Y; составляют последовательные итерации: выбирают из этой последовательности два последних значения, и принимают за наибольшее собственное число следующее соотношение: где- соответствующие координаты векторов

Спасибо за внимание!