Манаева Оксана, ученица 10 класса МБОУ Новоспасской средней школы Домашний адрес: С.Новоспасское Матвеевского района Оренбургской области. Руководитель: учитель математики, высшей квалификационной категории Костина Талия Вазыховна Работа удостоена 2 места в областном конкурсе проектов в области физико - математических наук, 2008г. Математика. Информационный проект
Цель работы: Систематизация знаний и получение новой информации о многогранниках Задачи: Изучить дополнительную литературу по теме. Показать связь полученной информации с жизнью. Гипотеза : История многогранников уходит в глубокую древность. Многие многогранники изобрел не сам человек, а их создала природа. Предмет исследования : геометрия Объект исследования: многогранники Методы работы: работа с литературой, анализ и синтез полученной информации
Тема моего проекта «В мире многогранников».. Эту тему я выбрала потому, что понятие многогранника является одним из центральных в курсе стереометрии. Многогранники интересны и сами по себе. Они имеют красивые формы. Формы многогранников находят широкое применение в конструировании сложных и красивых многогранных поверхностей, которые используются в реальных архитектурных проектах. Идёт это с глубокой древности. Пирамида – это норма тектоники – внутреннего устройства каменных зданий прошлого. Силуэты каменных церквей и соборов, как правило, вписываются в форму пирамиды. «Только неотступно следуя законам геометрии, архитекторы древности могли создать свои шедевры. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии, а греческая архитектура – внешнее выражение геометрии Евклида. Прошли века, но роль геометрии не изменилась. Она по- прежнему остаётся грамматикой архитектора» - это высказывание принадлежит великому французскому архитектору Ле Корбюзье. Я ничуть не сомневаюсь в его словах. Поэтому мне захотелось больше узнать о многогранниках и их видах.
4 Введение Основное содержание Многогранники. Определение многогранника, выпуклые и невыпуклые многогранники. Правильные многогранники Многогранники в различных областях культуры и науки Полуправильные многогранники Звездчатые многогранники Кристаллы – природные многогранники Многогранники и вирусы Заключение
С первых уроков геометрии в старших классах начинается взаимосвязанное изучение начал стереометрии и фигур в пространстве, в частности многогранников. Это объясняется тем, что многогранники являются хорошей иллюстрацией для вводимых понятий и доказательств, объяснения необходимости изучаемых свойств. Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребёнка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. Особый интерес к правильным многоугольникам и правильным многогранникам связан с красотой и совершенством формы. Они довольно часто встречаются в природе. Достаточно вспомнить форму снежинок, граней кристаллов, ячеек в пчелиных сотах. Из правильных многоугольников можно складывать не только плоские фигуры, но и пространственные. Многие из нас склеивали новогодние игрушки из открыток или яркой бумаги в форме правильных многогранников. Многие строения в окружающем нас мире, в частности пирамида Хеопса, имеют форму многогранников. И самая популярная форма современного здания, радиоприемника, телевизора, шкафа – параллелепипед; спичечный коробок, книга, комната, молочные пакеты также имеют форму тетраэдра или параллелепипеда. Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как многогранники и в особенности правильные многогранники.
Теория многогранников имеет богатую и древнюю историю, связанную с именами Пифагора, Евклида, Архимеда, Аполлония. В то же время это современный раздел математики. Глубокие результаты в ней получены советскими математиками Б.Н. Делоне, А.Д. Александровым, А.В. Погореловым. Теория многогранников имеет большое значение как для теоретических исследований по геометрии, так и для практических приложений в других разделах математики, например алгебре, теории чисел, в естествознании. Понятие выпуклости – одно из важнейших понятий математики. Оно появилось относительно недавно. Основы теории выпуклых многогранников были заложены в конце XIX в. немецкими учеными Г.Брунном, Г.Минковским и развиты в XX столетии советскими учеными Б.Н. Делоне, А.Д.Александровым, А.В. Погореловым. Многогранниками обычно называются тела, поверхности которых состоят из конечного числа многоугольников, называемыми гранями многогранника. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. «ТЕОРИЯ МНОГОГРАННИКОВ, В ЧАСТНОСТИ ВЫПУКЛЫХ МНОГОГРАННИКОВ, - ОДНА ИЗ САМЫХ УВЛЕКАТЕЛЬНЫХ ГЛАВ ГЕОМЕТРИИ», - такова мнение Л.А. Люстерника, члена-корреспондента Академии наук СССР, ученого, много сделавшего именно в этой области математики.
Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство В – Р + Г =2, В – вершина, Р- ребро, Г - грань Название много- гранника В Р Г Треугольная пирамида Четырехуголь ная пирамида Треугольная призма Четыреху гольная призма Результаты проведенного исследования
параллелепипед – многогранник, поверхность которого состоит из шести параллелограммов; прямоугольный параллелепипед – параллелепипед, у которого грани – прямоугольники; куб – многогранник, поверхность которого состоит из шести квадратов; призма – многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников, называемых основаниями призмы, и параллелограммов, называемых боковыми гранями; прямая призма – призма, боковыми гранями которой являются прямоугольники; правильная призма – прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники; пирамида – многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника, называемого основанием пирамиды, и треугольников, имеющих общую вершину, называемых боковыми гранями пирамиды. Общая вершина треугольников называется вершиной пирамиды; правильная пирамида – пирамида, в основании которой правильный многоугольник, и все боковые ребра равны; усечённая пирамида – многогранник, гранями которого являются n-угольники (нижнее и верхнее основания), расположенные в параллельных плоскостях, и n- четырёхугольников (боковые грани).
Ещё в Древней Греции были описаны все правильные многогранники. Особенно важное место многогранникам уделяли Пифагор(VI – V века до н. э.) и его ученики. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур. Отличительным знаком братства пифагорийцев был правильный звездчатый многоугольник. Они считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях о существе мира. где устройство мира тесно связывалось с геометрией, геометрическим телами. Именно им древнегреческий математик Прокл (V в.) приписывал построение пяти правильных многогранников, которые использовались для философских космологических теорий. Согласно этим теориям элементы первоосновы бытия: огонь, земля, воздух, вода – имеют форму правильных многогранников, соответственно правильного тетраэдра, куба, октаэдра и икосаэдра. А вся Вселенная имела форму додекаэдра. Позже учение пифагорийцев о правильных многогранниках изложил в трактате»Тимей» другой древнегреческий ученый, философ – идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться Платоновыми. Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники и все многогранные углы равны.
Почему правильные многогранники получили такие имена? Это связано с числом их граней. Так, тетраэдр имеет четыре грани В переводе с греческого «тетра»- четыре, «эдрон» - грань. Вот и получается четырёхугольник тетраэдр.
Куб, или гексаэдр (шестигранник – от греческого «гекса», т.е. шесть) – самый общеизвестный и широко используемый многогранник. Восьмигранник – «окто» - восемь, составленный из восьми правильных треугольников Двенадцатигранник, «додека» - двенадцать. составленный из двенадцати правильных пятиугольников Двадцатигранник, «икоси» - двадцать, составленный из двадцати правильных треугольников
Многогранники в различных областях культуры и науки ки Правильные многогранники привлекают совершенством своих форм, полной симметричностью, что дало возможность венгерскому инженеру Эрне Рубику создать свой знаменитый «кубик Рубика». Постоянный интерес к изучению и изображению многогранников испытывали и многие художники разных эпох и стран. Пик этого интереса приходится, конечно, на эпоху Возрождения. Изучая явления природы, художники Возрождения стремились найти опирающиеся на опыт науки способы их изображения. Учения о перспективе, светотени и пропорциях, построенные на математике, оптике, анатомии, становятся основой нового искусства. Они позволяют художнику воссоздавать на плоскости трехмерное пространство, добиваться впечатления рельефности предметов. Для некоторых мастеров Возрождения многогранники являлись просто удобной моделью для тренировки мастерства перспективы. Другие восхищались их симметрией и лаконичной красотой. Третьих, вслед за Платоном, привлекали их философские и мистические символы.
Увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах Леонардо да Винчи ( ). Он проиллюстрировал изображениями правильных и полуправильных многогранников книгу своего друга монаха Луки Палочи (1445 – 1514) «О божественной пропорции».. Рисунки тел Платона, выполненные Леонардо да Винчи к книге Луки Палочи «О божественной пропорции», Венеция, 1509 год. Правильные многогранники в живой природе Правильные многогранники встречаются и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circogonia icosahedra) по форме напоминает икосаэдр. Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное пытается себя защитить: из 12 вершин скелета выходят 12 полых игл. На концах игл находятся зубцы, делающие иглу еще более эффективной при защите
ФАНТАЗИЯ НА ТЕМУ «ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ» Другим знаменитым художником эпохи возрождения, увлекшимся геометрией, был Альбрехт Дюрер ( ). В его известной гравюре «Меланхолия» на переднем плане изображен многогранник, гранями которого являются треугольники и пятиугольники. В 1525 году он даже написал трактат о пяти правильных многогранниках. Известный голландский художник Маурица Эшер ( ) написал картину – фантазию на тему «Правильные многогранники» »
ТАЙНАЯ ВЕЧЕРЯ А испанский художник Сальвадор Дали использовал символ Вселенной в своей картине «Тайная вечеря», на которой Христос и его ученики изображены на фоне огромного прозрачного додекаэдра. Очень интересно об этом произведении писала Завадская: «В нём воплощено Философско- религиозное и эстетическое кредо Дали. Здесь воздух и свет, и конструкция, и сон, и явь, и надежда, и сомнение. В центре большого полотна (167×288) изображен Христос в трех ипостасях – как сын, сошедший на Землю, он сидит за столом со своими учениками, но потом мы замечаем, что он вовсе и не сидит за столом, а погружен по пояс в воду – то есть крестится водой, или духом святым, тем самым воплощая вторую ипостась троицы, а над ним призрачно высится мужской торс, словно часть композиции «Вознесение» – возвращение к Богу Отцу. Апостолы изображены низко склонившими головы на стол – они словно поклоняются Христу (или спят!) – в этом случае есть аллюзия на евангельский текст, содержащий просьбу Христа не спать, пока он молит Бога: «Чашу мимо пронеси».
Архимеду принадлежит открытие 13 так называемых полуправильных многогранников («архимедовы тела»), каждый из которых ограничен неодноимёнными правильными многоугольниками, причём в каждой вершине сходится одно и то же число одинаковых граней в одинаковом порядке. Число граней этих тел содержится между 8 и 92. Каждое из этих тел может быть вписано в сферу. Интересно отметить, что на протяжении более 2 тыс. лет со времён Архимеда считалось, что полуправильных многогранников 13. Но совсем недавно, в середине 20-го столетия, был открыт еще один равноугольно полуправильный многогранник. Он получается из ромбокубооктаэдра поворотом верхней «8-угольной чаши» на 45°. Новый многогранник получил название псевдоархимедова тела. Иногда его называют «многогранник Ашкинузе» в честь одного из первооткрывателей этого нового типа многогранника – российского ученого В.Г.Ашкинузе. Примером такого многогранника является футбольный мяч, часто появляющийся на экранах телевизоров. Он составлен из пяти шестиугольников.
13 полуправильных многогранников. Усеченный октаэдрУсеченный икосаэдрУсеченный кубУсеченный тетраэдр Усеченный додекаэдрКубооктаэдр Икосодо декаэдр Усеченный кубооктаэдр Усеченный икосо додекаэдр Ромбо кубооктаэдр Ромбо Икосо додекаэдр Плосконосый додекаэдр Плосконосый куб
Кроме полуправильных многогранников из правильных многогранников – Платоновых тел, можно получить правильные звездчатые многогранники. Их всего четыре. Первые два были открыты И. Кеплером( ), а два других были построены почти двести лет спустя французским математиком и механиком, профессором Политехнической школы Луи Пуансо( ). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники получили название тел Кеплера- Пуансо
Многие формы звёздчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки – это звёздчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.
Воздействие на облик земной поверхности таких природных факторов, как ветер, вода, солнечный свет, весьма стихийно и часто носит беспорядочный характер. Однако песчаные дюны, галька на морском берегу, кратер потухшего вулкана имеют, как правило, геометрически правильные формы. В земле иногда находят камни такой формы, как будто их кто-то тщательно выпиливал, шлифовал, полировал. Это – многогранники с плоскими гранями, с прямыми ребрами. Правильные и совершенные формы этих камней, безукоризненная гладкость их граней поражает нас. Трудно поверить, что такие идеальные многогранники образовались сами, без помощи человека. Вот эти – то камни с природой, т.е. не сделанной руками человека, правильной, симметричной, многогранной формой и называется кристаллами. Кристаллы, залегающие в земле, бесконечно разнообразны. Размеры природных многогранников достигают подчас человеческого роста и более. Встречаются кристаллы – лепестки тоньше бумаги и кристаллы-пласты, в несколько метров толщиной. Бывают кристаллы маленькие, узкие, острые, как иголки, и бывают громадные, колонны. В некоторых местностях Испании такие кристаллические колонны ставят как столбы для ворот. В музее Горного института в Ленинграде хранится кристалл горного хрусталя (кварца) высотой около метра и весом больше тонны, который много лет служил тумбой у ворот одного из домов в Екатеринбурге. Многие кристаллы идеально чисты и прозрачны, как вода. Недаром говорят: «прозрачный, как кристалл», «кристально чистый»… Знакомство с кристаллами мы начнем в Минералогическом музее, где собраны сокровища, найденные в недрах Земли. Каких только кристаллов не увидишь в музее! Вот они – правильные многогранники: кубы, призмы, пирамиды, параллелепипеды и другие, пленяющие сложностью и совершенством формы… Столбики, таблички, пластинки, звезды, иглы, лепестки, сложные сплетения… Природные формы кристаллов правильны и симметричны, причудливо разнообразны…
Чешский писатель Карел Чапек, восхищаясь природными формами кристаллов. В коллекциях британского музея, в своих «Записках из Англии» пишет: « … Но я должен ещё сказать о кристаллах, формах, красках. Есть кристаллы огромные, как колоннада храма, нежные, как плесень, острые, как шипы: чистые, лазурные, зеленые, как ничто другое в мире, огненные, черные; математически точные, совершенные, похожие на конструкции сумасбродных, капризных ученых, или напоминающие печень, сердце… Есть кристаллические пещеры, чудовищные пузыри минеральной массы, есть брожение, плавка рост минералов, архитектура и инженерное искусство… Как таинственные математические молнии, пронзают материю бесчисленные законы построения. Чтобы быть равным природе, надо быть точным математически и геометрически. Число и фантазия, закон и изобилие – вот живые, творческие силы природы; не сидеть под зеленым деревом, а создавать кристаллы и идеи, вот что значит быть воедино с природой!» Кристаллы разных веществ: 1- каменная соль 2 – гранат, 3 – алмаз, 4 – квасцы, 5 – берилл, 6 – турмалин, 7а и 7б – кварц, 8 – медный купорос.
Кристаллы –природные многогранники Многие формы многогранников изобрел не сам человек, а их создала природа в виде кристаллов. Например, кристаллы льда и горного хрусталя (кварца) напоминают отточенный с двух сторон карандаш, т.е. имеет форму шестиугольной призмы, на основания которой поставлены шестиугольные пирамиды. Алмаз чаще всего встречается в виде октаэдра, иногда куба и даже кубооктаэдра. Исландский шпат, который раздваивает изображение, имеет форму косого параллелепипеда. Пирит - куб или октаэдр - иногда встречается в виде усечённого октаэдра. Свойства кристаллов, изучаемые на уроках физики и химии, определяются особенностями их геометрического строения, в частности симметричным расположением атомов кристаллической решетки. Внешние формы кристаллов являются следствием их внутренней симметрии. Первые, еще смутные предположения о том, что атомы в кристаллах расположены правильным, закономерным, симметричным строем, высказывались в трудах различных естествоиспытателей уже в те времена, когда само понятие атома было не ясным и не было не каких экспериментальных атомного строения вещества. Симметричная внешняя на 95% состоит из кристаллов. Мы добываем кристаллы из земных недр, исследуем в лаборатории, обрабатываем на фабриках, создаём изделия из кристаллических материалов. Лёд и снег, глина и песок, мрамор и гранит, сапфир и бриллиант, соль и сахар, и сотни других веществ – всё это кристаллы. И даже в животном организме они существуют. На их основе образовались молекулы, давшие начало жизни на планете. Впервые люди увидели кристаллы в минералах и возможно первым, поразившим их – был кристалл льда, родившейся из воды. Наука, занимающаяся строением, формы, физических и химических свойств кристаллов, долгое время была составной частью минералогии. Все основные законы кристаллографии были открыты на минералах. Кристалл наиболее современный элемент неживой природы. Кристаллы красивы и разнообразны. Их форма вызывает у нас восхищение, мы удивляемся их совершенству. Секрет красоты – в симметрии кристаллов.
Это интересно! «CО ВРЕМЕН ДРЕВНЕГРЕЧЕСКИХ ФИЛОСОФОВ ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ СЧИТАЛИСЬ НЕ БОЛЕЕ, ЧЕМ ИГРУШКОЙ ДЛЯ МАТЕМАТИКОВ, НЕ ИМЕЮЩЕЙ ПРАКТИЧЕСКОГО ЗНАЧЕНИЯ. ВЕСЬМА ЗАМЕЧАТЕЛЬНО, ЧТО КАК РАЗ ЭТИ ФИГУРЫ ОКАЗАЛИСЬ В ЦЕНТРЕ ВНИМАНИЯ БИОЛОГОВ В ИХ ЯРОСТНЫХ СПОРАХ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧНОЙ ФОРМЫ ВИРУСОВ» Вирусы, мельчайшие из организмов, настолько простые, что до сих пор неясно – относить их к живой или неживой природе, эти самые вирусы справились с геометрической проблемой, потребовавшей у людей более двух тысячелетий! Все так называемые «сферические вирусы», в том числе такой страшный, как вирус полиомиелита, представляют собой крохотные икосаэдры, а отнюдь не сферы, как думали раньше.
Думаю, что цели я добилась, так как в ходе работы пополнила свои знания о многогранниках, узнала о том, что существуют правильные, полуправильные и звёздчатые многогранники, что в природе тоже существуют многогранники - это кристаллы. Проследила историю развития многогранников. Узнала о существовании тел Платона, тел Архимеда и тел Кеплера- Пуансо. Модели правильных, полуправильных и звёздчатых многогранников являются хорошим украшением кабинета математики в школе. Декоративными моделями многогранников можно украсить новогоднюю ёлку. Можно использовать многогранники в качестве сувениров. Выполняя работу, я научилась изучать литературу по названной теме, делать анализ прочитанного, выбирать нужный материал, искать ответы на возникающие вопросы, делать выводы. При работе над проектом «В мире многогранников я прикоснулась к удивительному миру красоты, совершенства, гармонии, узнала имена учёных, художников, которые посвятили этому миру свои труды, являющиеся шедеврами науки и искусства. Ещё раз убедилась, что истоки математики – в природе окружающей нас. Успех в работе вызвал огромное желание продолжать свои исследования в мире многогранников.
Литература 1. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. и др. Геометрия. Учебник для 10 – 11 классов средней школы. – М.: Просвещение, Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. – М.: Наука, Глейзер Г. И. История математики в школе. IX-X классы. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, Савин А. П., Станцо В. В., Котова А. Ю. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика. – М.: АСТ, Смирнова И. М., Смирнов В. А.. В мире многогранников. – М., Математика. Еженедельная учебно-методическая газета. 24, 2004, 2006 г – с Китайгородский А.И. Порядок и беспорядок в мире атомов. – М., издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1977 г., 176 с. 9.Левитин К. Геометрическая рапсодия. – М., издательство «Знание», 1976 г., 144 с. 10. Шаскольская М.П. Кристаллы. – М., Интернет - ресурсы