Основные теоремы теории вероятностей Лекция 13. План лекции Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей для независимых и зависимых событий.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Биномиальное распределение Лекция 17. План лекции 1.Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. 2.Вероятность редких событий. Формула Пуассона.
Advertisements

Основные понятия теории вероятностей Лекция 12. План лекции Случайные события и их классификация. Алгебра событий. Классическое и статистическое определение.
Кафедра медицинской и биологической физики Тема: Элементы теории вероятностей лекция 10 для студентов 1 курса обучающихся по направлению подготовки
Ст. преп., к.ф.м.н. Богданов Олег Викторович 2010 Элементы теории вероятности.
Лекция 2 Основные теоремы теории вероятностей. Лекция 2 1. Частота, или статистическая вероятность события m - число появления события A; n – общее число.
Дискретные случайные величины Лекция 14. План лекции Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Функция распределения.
Непрерывные случайные величины Лекция 15. План лекции Непрерывные случайные величины. Закон распределения. Функции распределения и плотности распределения.
Теория вероятностей. Случайные события: физическая неустойчивость
Теория матриц Лекция 5. План лекции: Понятие матрицы. Операции с матрицами. Определители, их свойства. Обратная матрица. Характеристическое уравнение.
1 Формула полной вероятности. Формула Бейеса. 2 Формула полной вероятности Формула Бейеса P(Hi|A) = =
Кафедра математики и моделирования Старшие преподаватели Е.Д. Емцева и Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 14. Тема: Решение задач с использованием.
Функции и их производные Лекция 7. План лекции Определение функции. Основные элементарные функции и их графики. Предел функции. Понятие производной функции.
1 Теоремы сложения и умножения вероятностей. 2 Терминология Ω – множество всех возможных исходов опыта. ω – элементарное событие (неразложимый исход опыта).
Элементы теории вероятности и математической статистики Теория вероятностей возникла как наука из убеждения, что в основе массовых случайных событий лежат.
Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 12. Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Автор: Яковлева Екатерина. Об авторе Ученица 8 «А» средней школы 427. Яковлева Екатерина Александровна Дата рождения года. Проект по Теории.
Вероятности случайных событий. Теория вероятностей математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.
Презентация по теме: Основы теории вероятностей
Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 14. Тема: Повторение опытов. Формула Бернулли. Цель:
ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ. Учебник по теории вероятностей 1.7. Независимые испытания. Формула Бернулли Спасибо, что читаете и делитесь с другими При решении вероятностных.
Транксрипт:

Основные теоремы теории вероятностей Лекция 13

План лекции Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей для независимых и зависимых событий. Полная вероятность. Формула Байеса. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли Вероятность наступления редких событий. Формула Пуассона.

Теорема умножения вероятностей Вероятность произведения двух независимых событий А и В: Вероятность произведения n независимых событий:

Условная вероятность Вероятность события А при условии, что произошло событие В Вероятность того, что человек заболеет раком легких, если он курит: Событие А – заболевание; событие В – вредная привычка) Вероятность того, что человек не заболеет гриппом, если он сделает прививку: Событие А – заболевание; событие В – медицинская процедура) Реализация события А не зависит от реализации события В

Формула Байеса Вероятность того, что произойдут события А и В, равна произведению вероятности события А и условной вероятности того, что после события А произойдет событие В Формула Байеса позволяет вычислять условные вероятности

Пример1: Команда стрелков КрасГМУ состоит из 5 студентов. Трое из них из группы КП101, двое – из КП102 группы. Вероятность попадания в мишень для стрелка из КП101=0,8, для КП102 – 0,6. Участник команды произвел выстрел. 1.Найти вероятность попадания. 2.Найти вероятность того, что попавший стрелок студент: группы КП101 группы КП102

Решение: До опыта возможны гипотезы: В 1 – попавший стрелок студент группы КП101 В 2 – попавший стрелок студент группы КП102

Р(В1)=3/5=0,6 Р(В2)=2/5=0,4 Р В1 (А)=0,8 Р В2 (А)=0,6 Р(А)= Р(В1) Р В1 (А)+ Р(В2) Р В2 (А)= 0,6×0,8+0,4 ×0,6=0,72

По формуле Байеса: Вывод: более вероятно, что цель поражена стрелком группы КП101

Пример 2 В группе 10 студентов, пришедших на экзамен. Трое подготовлены отлично,4-хорошо, 2-посредственно, 1- плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный – на 16, посредственно- на 10, плохо подготовленный – на 5. вызванный наугад студент ответил на 3 заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: 1. Отлично 2. Плохо

Решение Рассмотрим полную группу событий - подготовлен отлично - подготовлен хорошо - подготовлен посредственно - подготовлен плохо вероятности этих событий равны:

Найдем соответствующие вероятности:

По формуле Байеса найдем соответствие: 1. 2.

Вероятность того, что в отдельном опыте произойдет событие А, равна р. Тогда вероятность того, что в n опытах m раз случится событие А, дается формулой Бернулли:

Эксперименты с бросанием монеты Ученыйброскидоля орлов Бюффон 40400,507 Де Морган 40920,5005 Джевонс204800,5068 Романовской806400,4923 Пирсон240000,5005 Феллер100000,4979

Частота рождаемости мальчиков в Швеции Месяц IIIIIIIVVVI n m/n месяц VIIVIIIIXXXIXII n m/n

Частные случаи формулы Бернулли 1.Вероятность осуществления события А в n испытаниях ровно n раз равна: 2.Вероятность осуществления события А в n испытаниях нуль раз равна:

Частные случаи формулы Бернулли 3.Вероятность осуществления события А в n испытаниях не более m раз равна: 4.Вероятность осуществления события А в n испытаниях не менее m раз равна:

Пример: Что вероятнее выиграть у равносильного противника: Не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми?

1.Вероятность выиграть не менее трех партий из четырех: 2.Вероятность выиграть не менее пяти партий из восьми: Решение: Так как противники равносильны, то вероятность выигрыша и проигрыша в каждой партии одинаковы.

Вероятность редких событий. Формула Пуассона Если вероятность ожидаемого события А очень мала (p 0, а вероятность альтернативы q 1 ). формула Пуассона

Пример: Пусть известно, что в партии препарата имеется n= ампул. Вероятность нахождения поврежденной ампулы р=0,0001. Найти вероятность того, что партия содержит ровно 5 бракованных ампул.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА: Основная литература: Ганичева А.В., Козлов В.П. Математика для психологов. М.: Аспект-пресс, 2005, с Павлушков И.В. Основы высшей математики и математической статистики. М., ГЭОТАР-Медиа, Журбенко Л. Математика в примерах и задачах. М.: Инфра-М, 2009.