1. Математическая модель и погрешности Процесс решения задачи из физики, техники или экономики с помощью метода математического моделирования состоит из нескольких этапов: 1. Исследование объекта и содержательная постановка задачи 2. Построение математической модели 3. Выбор численного метода и разработка вычислительного алгоритма 4. Разработка программы на компьютере или выбор пакета прикладных программ 5. Проведение вычислений и анализ результатов

Этапы решения задачи с помощью математического метода: 1) Исследование объекта и формулировка постановки задачи 2) Формулировка математической постановки задачи, построение математической модели и исследование ее адекватности исследуемому объекту 3) Поиск соответствующих методов решения (алгоритмов) 4) Разработка программы решения задачи на компьютере, ее тестирование и отладка 5) Проведение вычислительных экспериментов На всех этапах появляются погрешности, которые влияют на точность результатов. Если полученные результаты не устраивают исследователя, то возвращаются к первому этапу и корректируют содержательную постановку задачи и математическую модель. При этом изменения могут быть внесены и на всех последующих этапах. Методы решения вычислительных задач аналитическиечисленные приближенныеточные алгоритмы прямыеитерационные

1.1 Источники и классификация погрешностей Виды погрешностей: а) неустранимая (неточное указание параметров задачи) б) погрешность математической модели в) погрешность метода г) вычислительная погрешность (погрешность округления) Часто первые два вида погрешности, объединяя их в один вид, также называют неустранимой погрешностью. I – абсолютная величина погрешности результата I н, I м, и I о абсолютные величины неустранимой погрешности, погрешности метода и погрешности округления соответственно (1.1) Из неравенства (1.1) можно сделать важный вывод: полную погрешность результата нельзя сделать меньше, чем наибольшая из составляющих ее погрешностей.

1.2 Элементы теории погрешностей Определение 1.1. Приближенным значением некоторой величины a называется число а p, которое незначительно отличатся от точного значения этой величины. Пусть а точное значение некоторой величины, а а p ее приближенное значение. Определение 1.2. Абсолютной погрешностью приближенного значения называется модуль разности между точным и приближенным значениями этой величины: (1.2) Пример 1.1. Если a = 20,25 и a p = 20, то абсолютная погрешность равна = 0,25. Определение 1.3. Относительной погрешностью приближенной величины а p называется отношение абсолютной погрешности приближенной величины к её точному значению: (1.3)

Равенство (1.3) можно записать в другой форме (1.4) Пример 1.2. Пусть a = 20,25 и a p = 20. Тогда относительная погрешность равна δ = 0,25/20 = 0,0125. На практике, как правило, вместо теоретических понятий абсолютной и относительной погрешностей используют практические понятия предельной абсолютной погрешности и предельной относительной погрешности Определение 1.4. Под предельной абсолютной погрешностью приближенного числа понимается всякое число a, не меньшее абсолютной погрешности этого числа (1.5) Неравенство (1.5) позволяет для точного значения величины получить оценку (1.6)

Часто неравенства (1.6) записывают в другой форме (1.7) На практике в качестве предельной абсолютной погрешности выбирают наименьшее из чисел a, удовлетворяющих неравенству (1.5), однако это не всегда возможно. Пример 1.3. Оценить предельную абсолютную погрешность приближенного значения ap = 2,72 числа e, если известно, что e = 2, …. Решение. Очевидно, что |a p – e| < 0,01. Следовательно, a = 0,01. Также справедливо неравенство |a p – e| = |2,720 – 2,71828…| < 0,002. Получаем другое значение предельной абсолютной погрешности a = 0,002. Ясно, что следует выбрать наименьшее из найденных значений предельной погрешности, т.к. это позволит сузить диапазон (1.5), в котором находится точное значение изучаемой величины. С другой стороны, погрешность a = 0,01 показывает, что приближенное число 2,72 содержит верные цифры. Значение a = 0,002 не дает возможности утверждать, что число 2,720 содержит четыре верные цифры.

Определение 1.5. Предельной относительной погрешностью δ a данного приближенного числа называется любое число, не меньшее относительной погрешности этого числа: (1.8) Так как справедливо неравенство то можно считать, что предельные абсолютная и относительная погрешности связаны формулой или(1.9) Пример 1.4. Пусть длина бруска измерена сантиметровой линейкой и получено приближенное значение a p = 251 см. Найти предельную относительную погрешность δ a. Решение. Так как сантиметровая линейка не содержит делений меньше сантиметра, то предельная абсолютная погрешность равна a = 1 см, а точное значение a длины бруска находится в диапазоне 250 см a 252 см. Хотя точное значение a неизвестно, можно для относительной погрешности записать неравенство То есть, можно считать, что δ a = 0,004.

Если абсолютная погрешность a значительно меньше точного значения |a|, то относительную погрешность определяют приближенно как отношение абсолютной погрешности к приближенному значению: (1.10) Часто в формуле (1.10) вместо знака «» используют знак точного равенства «=». Относительную погрешность часто задают в процентах. Пример 1.5. Определить предельную относительную и абсолютную погрешности значения x = 125 ± 5%. Решение. Здесь δa = 5% = 0,05 и a = 0,05125 = 6,25. В этом примере мы воспользовались формулой (1.10).

Значащие цифры. Определение 1.6. Значащими цифрами в записи приближенного числа называются - все ненулевые цифры; - нули, содержащиеся между ненулевыми цифрами; - нули, являющиеся представителями сохраненных десятичных разрядов при округлении. В следующих примерах значащие цифры подчеркнуты: Пример ,305; 0,0357; 0,001123; 0, , При округлении числа 0, до шести знаков после запятой получается число 0,035300, в котором последние два нуля являются значащими. Если отбросить эти нули, то полученное число 0,0353 не является равнозначным с числом 0, приближенным значением числа 0, , так как погрешности указанных приближенных чисел отличаются!

Дадим определение понятию верная значащая цифра Определение 1.7. Первые n значащих цифр в записи приближенного числа называются верными в узком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего n-ой значащей цифре, считая слева направо. Наряду с определением 1.6 иногда используется другое определение Определение 1.8. Первые n значащих цифр в записи приближенного числа называются верными в широком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего n-ой значащей цифре. Пример 1.7. Определить верные цифры приближенного значения a p = 2,721 числа e, если известно, что e = 2, …. Решение. Очевидно, что |a p – e| = |2,721 – 2,71828…| < 0,003 < 0,005. Следовательно, верными являются только три первые цифры, последнюю цифру можно отбросить, a p = 2,72.

Пример 1.8. Пусть x = 1,10253 ± 0, Верными являются первые четыре значащие цифры, а цифры 5 и 3 не удовлетворяют определению. В широком смысле верными являются первые пять цифр. Пример 1.9. При записи следующих физических констант указаны три верные значащие цифры: а) гравитационная постоянная γ = 6,6710 –11 Нм 2 /кг 2 ; б) скорость света в вакууме C = 3, м/c; в) постоянная Планка h = 6,6310 –34 Джc. Замечание. Термин «верные значащие цифры» нельзя понимать буквально. Например, современное опытное значение скорости света в вакууме составляет C = 2, м/c. Очевидно, что ни одна значащая цифра в примере 9, б) не совпадает с соответствующей точной цифрой, но абсолютная погрешность меньше половины разряда, соответствующего последней значащей цифре в записи 3, : |3, – 2, | < 0, < 0, /2 = 0,

Правило округления чисел. Чтобы округлить число до n значащих цифр, отбрасывают все цифры его, стоящие справа от n-й значащей цифры, или, если это нужно для сохранения разрядов, заменяют их нулями. При этом 1)если первая отброшенная цифра меньше 5, то оставшиеся десятичные знаки сохраняют без изменения; 2) если первая отброшенная цифра больше 5, то к последней оставшейся цифре прибавляют единицу; 3) если первая отброшенная цифра равна 5 и среди остальных отброшенных цифр есть ненулевые, то к последней оставшейся цифре прибавляют единицу; 3а) если же первая из отброшенных цифр равна 5 и все отброшенные цифры являются нулями, то последняя оставшаяся цифра оставляется неизменной, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная (правило четной цифры). Это правило гарантирует, что сохраненные значащие цифры числа являются верными в узком смысле, то есть погрешность округления не превосходит половины разряда, соответствующего последней оставленной значащей цифре. Правило четной цифры должно обеспечить компенсацию знаков ошибок.

Пример Приведем примеры округления до 4-х значащих цифр: а) 3, ,142; p = |3,142 – 3, | < 0,00041 < 0,0005; б) ; p = | – | < 500; в) 2, , ; p = |2, – 2, | = = 0, < 0, Следующая теорема выявляет связь относительной погрешности числа с числом верных десятичных знаков. Теорема 1.1. Если положительное приближенное число имеет n верных значащих цифр, то его относительная погрешность δ не превосходит величины 10 1–n, деленной на первую значащую цифру α m : (1.11) Формула (1.11) позволяет вычислить предельную относительную погрешность (1.12)

Пример Найти относительную и абсолютную погрешности приближенных чисел а) 3,142 и б) 2, Решение. а) Здесь n = 4, α m = 3; Используем формулу (1.12) для оценки относительной погрешности: δ a = 10 1–n / α m = 0,001/3 0, Для определения абсолютной погрешности применим формулу (1.10): a |a p |δ a = 3,1420, ,001. б) Аналогично предыдущему пункту вычислим: n = 7, α m = 2, δ a = 10 1–n / α m = 0,000001/2 = 0, ; a |a p |δ a = 2, ,

1.3 Погрешности арифметических операций Приведем правила вычисления погрешности результата различных арифметических операций над приближенными числами. Относительно алгебраической суммы u = x ± y можно утверждать следующее: Теорема 1.2. Предельная абсолютная погрешность суммы приближенных чисел равна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых Теорема 1.2. Предельная абсолютная погрешность суммы приближенных чисел равна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых, т.е. (1.13) Из (1.13) следует, что предельная абсолютная погрешность суммы не может быть меньше предельной абсолютной погрешности наименее точного из слагаемых. Т.е., если в состав суммы входят приближенные слагаемые с разными абсолютными погрешностями, то сохранять лишние значащие цифры в более точных не имеет смысла. Пример Найти сумму приближенных чисел, все цифры в записи которых являются верными в широком смысле, и ее предельную абсолютную и относительную погрешности u = 0, ,12 + 1,0012.

Решение. Предельные абсолютные погрешности слагаемых здесь равны соответственно 0,001; 0,01; 0,0001. Суммирование производим, руководствуясь следующим правилом: 1) выделим наименее точные слагаемые (в нашем примере это второе слагаемое) и оставим их без изменения; 2) остальные числа округлим по образцу выделенных, оставляя один или два запасных знака; 3) сложим данные числа, учитывая все сохраненные знаки; 4) полученный результат округлим до точности наименее точных слагаемых. Имеем u = 0, ,01 + 0,0001 = 0,0111; u = 0, ,12 + 1,0012 0, ,12 +1,00 = 46,38 ± 0,01. Основной вклад в абсолютную погрешность результата здесь вносят предельные погрешности исходных данных, приведенные выше. Теорема 1.3. Если все слагаемые в сумме имеют один и тот же знак, то предельная относительная погрешность суммы не превышает наибольшей из предельных относительных погрешностей слагаемых. (1.14)

При вычислении разности двух приближенных чисел u = x – y ее абсолютная погрешность, согласно теореме 2, равна сумме абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого, т.е. u = x + y, а предельная относительная погрешность равна (1.15) Из (1.15) следует, что если приближенные значения x и y близки, то предельная относительная погрешность будет очень большой. Пример Найти разность x – y с тремя верными знаками, если x = 12,1254 ± 0,0001, y = 12,128 ± 0,001 Решение. Имеем 12,1254 – 12,128 = – 0,0026. u = 0, ,001 = 0,0011; δ u = 0,0011/|–0,0026| = 0,42. δ x = 0,0001/12,1254 0,000008; δ y = 0,001/12,128 0, Согласно этим результатам разность x – y имеет не более одной верной цифры и относительная погрешность очень велика по сравнению с относительными погрешностями операндов.

В некоторых случаях удается избежать вычисления разности близких чисел с помощью преобразования выражения так, чтобы разность была исключена. Рассмотрим один из таких примеров, искусственно придуманный Пример Найти разность с тремя верными знаками. Решение. Умножим и разделим на сопряженное. Получим Если представляется сложным заменить вычитание близких приближенных чисел сложением, то следует поступать так: если известно, что при вычитании должно пропасть m первых значащих цифр, а в результате требуется сохранить верных n цифр, то тогда в уменьшаемом и вычитаемом следует сохранять m + n верных значащих цифр: Теорема 1.4. Предельная относительная погрешность произведения u = xy приближенных чисел, отличных от нуля, равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей, т.е. (1.16) В частности, если u = kx, где k точное число, имеем u = |k| x, δ u = δ x.

Пример Определить произведение приближенных чисел x = 12,45 и y = 2,13 и число верных значащих цифр в нем, если все написанные цифры сомножителей верные в узком смысле. Решение. По условию предельные абсолютные погрешности сомножителей равны x = y = 0,005; δ x = 0,005/12,45 = 0,0004; δ y = 0,005/2,13 = 0,0023. Тогда по теореме 1.4 имеем δ u = δ x + δ y = 0, ,0023 = 0,0027 0,003. Вычислим произведение 12,452,13 = 26,5185. u = 26,51850,003 0,079 0,08. Таким образом, результат имеет три верные значащие цифры в широком смысле и может быть записан в виде u = 26,5(1 ± 0,003). Теорема 1.5. Предельная относительная погрешность частного равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя. Пример Вычислить частное приближенных чисел x = 12,45 и y = 2,13 и число верных значащих цифр в нем, если все написанные цифры сомножителей верные в узком смысле. Решение. Предельная относительная погрешность частного по теореме 1.5 равна δ u 0,003. Вычислим частное 12,45:2,13 5, u = 5,845070,003 0,0175 0,02. Результат имеет две верные значащие цифры в узком смысле и может быть записан в виде u = 5,8(1 ± 0,003).

1.4 Погрешность произвольной функции Пусть задана произвольная функция u = f(x 1, x 2, …,x n ), где x 1, x 2, …,x n приближенные величины, а их известные предельные абсолютные погрешности. Тогда предельная абсолютная погрешность результата функции u для малых вычисляется по формуле: (1.17) Как видно из формулы (1.17), для ее применения требуется, чтобы функция f(x 1, x 2, …,x n ) была дифференцируемой по всем переменным.

Пример Вычислить функцию, если и. Найти предельные абсолютную и относительную погрешности результата и определить число верных значащих цифр. Решение. Применяя формулу (1.17), имеем Для функции u находим. Учитывая предельную абсолютную погрешность u 0,04, получаем, что результат имеет две верные значащие цифры в узком смысле. Ответ можно записать в виде u = 1,4 ± 0,04.

1.5 Представление чисел в компьютере и погрешность Так как для записи числа в компьютере выделяется ограниченная область памяти, то числовые значения ограничены. Границы значений зависят от типа числа и конкретной среды программирования или математического пакета. В таблице 1.1 представлены диапазоны значений чисел различных типов в языке программирования C. Табл. 1.1

Если при вычислениях для переменной типа float будет получено число с порядком меньшим чем –38, оно будет заменено нулем, а если порядок числа превысит 38, то произойдет так называемый «аварийный останов» (система прекратит выполнение программы пользователя) и выведено сообщение о переполнении порядка. Для переменной типа float число с порядком меньшим чем –38 является нулем, а число с порядком большим, чем 38 бесконечностью. Для переменной типа double нулем являются значения с порядком меньшим чем –308, а бесконечностью значения с порядком большим, чем 308. В таблице 1.2 приведены константы для чисел с плавающей точкой стандартной библиотеки языка программирования C. Табл. 1.2 (начало)

Табл. 1.2 (продолжение)

Относительная погрешность представления чисел с плавающей точкой («машинное эпсилон») определяется как наименьшее положительное число ε, при сложении которого с единицей получается отличное от единицы число. Это значение зависит от количества знаков, которые можно записать в мантиссе числа. Для приблизительной оценки значения относительной погрешности представления можно предложить следующий алгоритм: 1) ε = 1; 2) ε = ε /2; 3) Если 1 < 1 + ε, то переходим к 2), иначе переходим к 4); 4) Выводим значение 2ε. Вычислим по этому алгоритму в программе Excel значение ε. Для этого вводим в ячейке A1 значение 1, в ячейке A2 формулу = A1/2, а в ячейке B2 формулу = 1 + A2. Выделим две ячейки A2:B2 и маркером заполнения протянем вниз до строки 50. В столбце B получим результаты сложения с единицей убывающих чисел из столбца A. В таблице 1.2 приведены последние пять строк вычисленных значений. Очевидно, что за предельную относительную погрешность можно принять значение ε = 7, –15, или, если округлить, ε 10 –14, и максимальное число значащих цифр в мантиссе составляет 15.

Табл. 1.2 Применим этот алгоритм в системе программирования Mathcad. Однако, здесь нас ждут интересные особенности. Введем в Mathcad следующую программу:

Мы видим, что число x = 9, –13 в неравенстве 1 1. Значение будет равно «ИСТИНА». А если ввести формулу =1+10^–15>1, то получим значение «ЛОЖЬ». Обращаем здесь внимание на то, что в выражении 10^–15 не обязательно брать в скобки показатель степени –15. Вычислим «машинное эпсилон» для языка программирования Borland C++ (версия 5.02). Для этого составим следующую программу: #include int main(){ float eps2,eps = 1,x = 1,y; do{ eps = eps/2; y = x + eps; }while (x < y); eps2 = 2* eps; printf("\neps = %e:", eps2); return 0; }

В результате выполнения программы получим eps = e–07. Это значение совпадает с числом FLT_EPSILON = e–07, приведенным в таблице 1.1 (Минимально возможное значение переменной типа float, такое, что FLT_EPSILON 1.0). Если в этой программе мы заменим тип float на тип double, то получим значение eps = e–16, которое совпадает с константой DBL_EPSILON.