НеравенстваНеравенства (избранные вопросы по математике на ЕГЭ )

С ОДЕРЖАНИЕ Неравенства с одной переменной Линейные неравенства Квадратные неравенства Рациональные неравенства Неравенства, содержащие знак модуля Комбинированные неравенства

Неравенства вида Где и - линейные функции, называются н еравенствами с одной неизвестной. Решением неравенства с одной переменной называется такое значение переменной, при подстановке которого неравенство обращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Линейным неравенством называется неравенство вида (или ) Решая линейное неравенство вида, получим: 1 случай: тогда 2 случай: тогда 3 случай:, тогда Если при этом то решений нет Если, то

A1. Укажите наименьшее целое решение неравенства Решение. Ответ: - 3 1) – 5; 2) – 4; 3) – 3; 4) – 2;

Квадратными неравенствами называются неравенства вида где x – переменная; a,b,c – действительные числа, причем a 0. Способы решения графическийаналитический

А1. Решите неравенство Решение. D = 49; Построим эскиз графика функции Из графика следует, что y

А2. Решите неравенство Решение. D график функциис осью абсцисс не пересекается Из графика следует, что y

Рациональным неравенством называется неравенство вида,,,, где, - многочлены Основной метод решения – метод интервалов

При решении рациональных неравенств методом интервалов нужно: все члены неравенства перенести в левую часть; если неравенство дробно – рациональное, то привести левую часть к общему знаменателю; найти все значения переменной, при которых числитель и знаменатель обращаются в 0; нанести найденные точки на числовую прямую, разбивая ее при этом на интервалы, в каждом из которых рациональная функция сохраняет знак; определить знак функции на любом из интервалов (лучше крайнем); определить знаки на остальных интервалах: при переходе через точу знак меняется на противоположный, если точка является корнем нечетной степени кратности; при переходе через точку четной кратности знак сохраняется; множеством решений неравенства является объединение интервалов с соответствующим знаком функции. В случае нестрогого неравенства к этому множеству добавляются корни числителя.

A1. Найдите наименьшее целое решение неравенства -437 x -+-+ ////////////////////////////////////////////// 1) -5 2) -43) -34) -1 Решение. Ответ: -4

А2. Укажите число целых решений неравенства Решение /////////////////////////////////////////////////////// -2; -1; 0; 1; 3; 4 – целые решения неравенств Ответ: 6 x 1) 7; 2) 5; 3) 6;4) целых решений бесконечно много

В1. Найдите сумму целых решений неравенства Решение ///////////////////////////////// (-2) + (-1) = -1 Ответ: -1 x -3; -2; -1; 2; 3 – целые решения неравенства.

В2. Укажите сумму целых чисел, не являющихся решением неравенства Решение //////////////////////////// + x ////////////////// -1; 0; 1 – целые числа, не являющиеся решениями неравенства = 0 Ответ: 0

С1. Решите неравенство Решение /////////////// 1 + x Ответ:

С2. Решите неравенство Решение. Преобразуем левую часть неравенства, приведя дроби к общему знаменателю: ///////////// - x -1, /////////////////////////// Ответ:

С3. Решите неравенство Решение. Пусть, тогда //////////////////////////////////////////////////////////////// t или 1) x ////////// 2) x ////////// или Ответ: //////////

С4. Решите неравенство Решение. Пусть, тогда //////////////////////////////////////////// t - -3,252 t < -3,5 или -1 < t < 2

1)2) решений нет; Ответ: ( - 2; 1)

Неравенства, содержащие знак модуля если где и - некоторые функции

А1. Найдите число целых решений неравенства Решение. 0; 1; 2; 3 – целые решения неравенства Ответ: 4 1) 3; 2) 4; 3) 5;4) целых решений бесконечно много.

А2. Решите неравенство Решение. Так как, то исходное неравенство решений не имеет Ответ: решений нет 4) решений нет

А3. Решите неравенство 1)Решений нет3)(-1;1) Решение. Так как, то исходное неравенство справедливо для любого действительного x Ответ: (- ;+ )

С1. Решите неравенство Решение x ////////////////////// x ////////////////////// Ответ: или

C2. Решите неравенство Решение. Так какдля всех x, то x ////////// 1

С3. Решите неравенство Решение X + 2 X - 2 Решим неравенство в каждом из трех промежутков 1) 2) Используем метод интервалов для модулей

3) Ответ:

С4. Решите неравенство Решение. Построим графики функцийи y = f (x) y x 21 6 График функции f(x) расположен ниже графика функции g(x) при Ответ: ( 0; 6) 0 9 Найдем абсциссы точек пересечения графиков

B1.Найдите количество целочисленных решений неравенства Решение. Так как при, то x ////////// - 2; -1; 0; 1; 2 - целые решения неравенства Ответ: 5

В2.Найти количество целочисленных решений неравенства Решение. 15 x - ++ //////////////////// 1; 2; 3; 4; 5 – целые решения неравенства Условиюудовлетворяют числа 2 и 4 Ответ: 2

С1.Найдите все значения x, для которых точки графика функции лежат выше соответствующих точек графика функции Составим неравенство, которому удовлетворяют значения x: Найдем те точки, в которых обращаются в ноль числитель и знаменатель дроби: б) а) Решим данное неравенство методом интервалов Решение.

1, //////////////// + x 1,50 Ответ: Запишем неравенство в виде x

С2. Решите неравенство Решение. ОДЗ: x > 0;пустьтогда

Литература ЕГЭ Математика: сборник заданий/ В.В. Кочагин, М.Н. Кочагина. – М.: Эксмо, 2008 ЕГЭ Математика: сборник экзаменационных заданий / Авт.- сост. Л.О. Денищева и др. – М.: Эксмо, 2009 Математика. Подготовка К ЕГЭ / Г.Г. Мамонтова. – М.: Новое знание, 2008 ЕГЭ 2009, Математика. Справочник / Авт. – сост. А.М. Титаренко и др. – М.: Эксмо, 2008 Математика: практикум для старшеклассников и абитуриентов / Авт. – сост. А.В. Борзенков. – Волгоград: Учитель, 2009 ЕГЭ. Математика: Раздаточный материал тренировочных тестов / С.Л. Никушкина, О.И. Судавная. – СПб.: Тригон, 2009 Система подготовки к ЕГЭ по математике. А.Семенов, Е.Юрченко. – Газета «Математика» 21, 2008