Подготовила Сухорукова Е.В. МОУ «Борисовская средняя общеобразовательная школа 2»

Открытие логарифма Определение логарифма Свойства логарифмов Дополнительные формулы Свойства логарифмической функции График функции Решение логарифмических уравнений Примеры решения уравнений Решение логарифмических неравенств Примеры решения неравенств Попробуй решить!

История логарифма началась в 17 веке. Логарифмы были изобретены шотландским дворянином Джоном Непером ( ),опубликовавшим свои работы в 1614 году. Независимо от него и примерно в то же время пришел к открытию логарифмов швейцарский часовщик, математик и изобретатель Йост Бюрги ( ), который опубликовал свои таблицы в 1620 году. Таблицы, опубликованные Непером и Бюрги были таблицами натуральных логарифмов, а первая таблица десятичных логарифмов опубликована в 1617 году Г.Бриггсом.

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b( log a b = c a c = b), при этом должно быть a > 0, a = 1, b >0 Основное логарифмическое тождество: a loga b = b, b > 0

При любом a > 0 (a = 1) и любых положительных x и y: log a 1 = 0 log a a = 1 log a x p = plog a x log a xy = log a x + log a y log a = log a x – loga y log a x =

log a b = log n b*log m c=log m b*log n c log a k b k = log a b

Логарифмическая функция y = log a x D(y) = R + E(y) = R a > 1 0 < a < 1 y возрастает на R + y убывает на R +

a > 10 < a< 1

Логарифмическое уравнение Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим Простейшее логарифмическое уравнение log a x=b, a > 0; a = 1 log a f(x)=log a g(x) равносильно системе: f(x)=g(x) f(x)>0 g(x)>0 Корни подставляют в уравнение для исключения посторонних корней Полезен метод введения новой переменной Метод логарифмирования, если переменная есть и в основании, и в показателе степени

x log 2 x+2 =8 Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2: log 2 (x log 2 x+2 )=log 2 8, (log 2 x+2)*log 2 x=3. Пусть log 2 x=y, тогда y 2 + 2y - 3 = 0, y = 1 или y = -3. log 2 x=1 или log 2 x=-3 x = 2 или x = 1/8 log 2 (x-1)=6, x-1>0, т.е. x>1 По определению логарифма: x - 1 = 6 2 x – 1 = 36 x = 37 log 5 2 x - log 5 x = 2 Пусть log 5 x = y, тогда y 2 – y = 2, y2 – y –2 = 0, y = 2 или y = -1 log 5 x=2, log 5 x= -1 x = 25 или x = 1/5

Логарифмическое неравенство Неравенство, содержащее переменную только под знаком логарифма log a f(x) > log a g(x) f(x) > g(x) > 0 при a >1 0 < f(x) < g(x) при 0 < a < 1

log 5 (x - 3) < 2 x – 3 > 0 x – 3 < 25 x > 3 x < 28 Ответ: (3;28) log 0,5 (2x-4) > -1 2x – 4 > 0 2x – 4 < 2 x > 2 x < 3 Ответ: (2;3)

log 2 (x 2 +4x+3) = 3 log x (125x)*log 2 25 x=1 log 0,5 x 2 > log 0,5 3x