Методы решений заданий С5 (задачи с параметром) Метод областей в решении задач

(«переход» метода интервалов с прямой на плоскость ) Неравенства с одной переменной Неравенства с двумя переменными 1. Область определения 2. Граничные линии 3. Координатная плоскость 4. Знаки в областях 5.Ответ по рисунку. 1. Область определения 2. Корни 3. Ось 4. Знаки на интервалах 5. Ответ. Метод интервалов: Метод областей: Обобщённый метод областей

Решение. На координатной плоскости нарисуем линии, определяемые равенствами х – у = 0 (у = х) и х у - 1= 0 (у = 1/х), которые разбивают плоскость на 6 областей. При х = 1, у = 0 левая часть неравенства равна -1(отрицательна) Ответ: заштрихованные области на рисунке удовлетворяют условию (х – у) (х у –1) 0 х у На координатной плоскости изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству(х – у) (х у –1) Следовательно, в 1 области, содержащей точку (1; 0), левая часть неравенства имеет знак минус, а в остальных областях её знаки чередуются. Пример для понимания «метода областей»

Граничные линии: Они разбивают плоскость на 8 областей х у На координатной плоскости изобразите множество точек, удовлетворяющих неравенству Ответ: заштрихованные области на рисунке. Область определения неравенства: Проводим граничные линии, с учётом области определения Определяем знаки на областях подстановкой в отдельных точках Пример для понимания «метода областей»

Метод областей при решении задач с параметрами Ключ решения: Графический приемСвойства функций Параметр – «равноправная» переменная отведем ему координатную ось т.е. задачу с параметром будем рассматривать как функцию a = f (x ) Общие признаки задач подходящих под рассматриваемый метод В задаче дан один параметр а и одна переменная х Они образуют некоторые аналитические выражения F (x;a), G (x;a) Графики уравнений F(x;a)=0,G(x;a)=0 строятся несложно 1. Строим графический образ 2. Пересекаем полученный график прямыми перпендикулярными параметрической оси 3. «Считываем» нужную информацию Схема решения:

Найти все значения параметра р, при каждом из которых множество решений неравенства (р – х 2 )(р + х – 2) < 0 не содержит ни одного решения неравенства х 2 1. Применим обобщенный метод областей. 2) Определим знаки в полученных пяти областях, и укажем решение данного неравенства. 3) Осталось из полученного множества исключить решения неравенства х 2 1 По рисунку легко считываем ответ Ответ: р 0, р 3 х р 1) Построим граничные линии р = 3 р = р = х 2 и р = 2 - х При р 0, р 3 в решениях исходного неравенства нет решений неравенства х x 1, - 1 < x < 1

Сколько решений имеет система в зависимости от параметра а? x y Графиком второго уравнения является неподвижная окружность с центром в начале координат и радиусом 1 Графиком первого уравнения является семейство квадратов с вершинами в точках 4 решения при а = 1 решений нет при 8 решений при 4 решения при решений нет при Ответ: решений нет, если 8 решений, если 4 решения, если 0

При каких положительных значениях параметра а, система уравнений имеет ровно четыре решения? Запишем систему в виде: Построим графики обоих уравнений. Шаги построения первого уравнения: Строим уголок затем и симметрично отображаем относительно оси абсцисс. Второе уравнение задает семейство окружностей с центром (2;0) и радиусом а. Ответ: х у решений нет при 8 решений при 4 решения при при решений нет; при и система имеет 4 решения; система имеет 8 решений при Итак: 0

Решение. Рассмотрим сумму данных выражений t у Сумма данного выражения равна 1, при пересечении параболы с горизонтальной прямой. По рисунку «считываем» ответ: Построим в прямоугольной системе координат график функции у (t) = t 2 + 4t, учитывая, что t [1;2] и прямые у = а 5 а 12 Пусть сos 2 x + 1= t; t [1; 2]; тогда уравнение примет вид При каких значениях параметра а сумма log a (cos 2 x + 1) и log a (cos 2 x + 5) равна 1 хотя бы при одном значении х ? log a (cos 2 x + 1) + log a (cos 2 x + 5) = 1;заметим, 0 cos 2 x 1 log a (t(t + 4)) = 1; откуда t 2 + 4t = a у = а Ответ: при всех a [5;12]

Уравнение задает неподвижный угол с вершиной (1;5) Уравнение задаёт семейство окружностей с центром в начале координат и радиусом Построим эскизы этих линий и определим из рисунка количество их общих точек. х у 1 решение при 2 решения при 3 решения при4 решения при3 решения при 2 реш. при 1 решение при нет решение при А В С О Найдите все значения параметра а, при которых количество корней уравнения (5 - а) х 3 – 4 х 2 + х = 0 равно количеству общих точек линий х 2 + у 2 = а 2 и у = 5 - х - 1

Запишем первое уравнение в виде х (5 - а) х 2 – 4 х + 1)= 0 Заметим, что х = 0 – корень не зависимо от параметра а. Уравнение (5 - а) х 2 – 4 х + 1 = 0 может иметь 0, 1 или 2 решения в зависимости от параметра а и D = 4(a – 1). а = 5; а = 1 три решения два решенияодно решение совокупность линий первое уравнение Осталось заметить, что условие задачи выполняется только в трех точках при Ответ: