Этапы 1. Найти f / (x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. 3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка. 4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее или наибольшее Найдите наименьшее значение функции y = x 3 – 27x на отрезке [0; 4] 1) y / = 3x 2 – 27 2) y / = 3x 2 – 27 = 3(x 2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3) 3-3 x = 3 [0; 4] x = –3 [0; 4] y(4) = 4 3 – 27 4 = – 44 y(3) = 3 3 – 27 3 = –54 3 х 1 0 х В ) y(0) = 0 Алгоритм решения задач

Этапы 1. Найти f / (x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. 3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка. 4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее и наибольшее Найдите наименьшее значение функции y = x 3 – 27x на отрезке [0; 4] 1) y / = 3x 2 – 27 2) y / = 3x 2 – 27 = 3(x 2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3) 3-3 y(3) = 3 3 – 27 3 = –54 3 х 1 0 х В ) Другой способ решения ++– x y\y\ y min Наименьшее значение функция будет принимать в точке минимума. Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка. Этот способ будет удобно вспомнить, когда вычисления значений функции в концах отрезка будет сложным.

наибольшеезначение наибольшеезначение наименьшеезначение наименьшеезначениеa b a b Предположим, что функция f не имеет на отрезке [а; b] критических точек. Тогда она возрастает (рис. 1) или убывает (рис. 2) на этом отрезке. Значит, наибольшее и наименьшее значения функции f на отрезке [а; b] это значения в концах а и b. функция возрастает функция убывает

наибольшеезначение наименьшеезначениеa b a b Предположим, что функция f одну имеет на отрезке [а; b] одну точку экстремума. Если это точка минимума, то в этой точке функция будет принимать наименьшее значение. Если это точка максимума, то в этой точке функция будет принимать наибольшее значение.

СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ – функция, представленная как композиция нескольких функций. Сложная функция – функция от функции. Сложная функция представлена в виде цепочки простых функций. – промежуточный аргумент, – независимая переменная. Производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента. xvxvuxvu /// xvu xv x

Чтобы найти производную сложной функции, нужно: 1.Определить, какая функция является внешней и найти по таблице производных соответствующую производную. 2. Определить промежуточный аргумент.

Функция промежуточного аргумента – квадратичная функция Функция квадратного корня Показательная функция Функция промежуточного аргумента – квадратичная функция Логарифмическая функция Функция промежуточного аргумента – тригонометрическая функция sinx Степенная функция Функция промежуточного аргумента – квадратичная функция

Проверим, принадлежит ли х=ln3 промежутку [1; 2] Найдите наименьшее значение функции y = e 2x – 6e x + 3 на отрезке [1; 2]1. Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Значения функции в концах отрезка. 1) y(1) = e 2 – 6e + 3; y(2) = e 4 – 6e ) y / = [1; 2] Найдем значение функции в критической точке. 2e x (e x – 3) = 0 e x – 3 = 0 x = ln3 (e 2x ) / = e 2x (e x ) / = e x (2x) / = e 2x 2 = 2e 2x (kx) / = k 0 ( ) vvuvu /// – 6e x + 0 2e 2x 1) производная для внешней функции: (e x ) / = e x = 2e x (e x – 3) (С) / = 0 + – x y\y\ y ln3 min Наименьшее значение функция будет принимать в точке минимума. Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка. >0

Найдите наибольшее значение функции 2. xgxgfxgf /// 5 – 4х – х 2 0 D(y): x = – 2 D(y) Найдем критические точки, которые принадлежат D(у). Вычислим производную, используя формулу для вычисления производной сложной функции. х () х 2 1 / – + x y\y\ y -2-2 max Наибольшее значение функция примет в точке максимума. 3 х 1 0 х В 14 3

При решении некоторых заданий на вычисление наибольшего и наименьшего значений функции можно найти ответ и без вычисления производной. g(x)f Сложная функция представлена в виде цепочки простых функций. Где g(x) – промежуточный аргумент, квадратичная функция g(x) = ax 2 +bx + c Если внешняя функция является монотонно возрастающей на всей области определения, значит, наибольшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция будет иметь наибольшее значение. А наименьшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента, т.е.квадратичная функция будет иметь наименьшее значение. А наименьшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция будет иметь наименьшее значение. Рассмотрим примеры.

Найдите наибольшее значение функции 2. 5 – 4х – х 2 0 D(y): 2 способ Решим задание без вычисления производной. Функция квадратного корня монотонно возрастает на всей области определения, значит, наибольшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргументат.е. квадратичная функция – х 2 – 4х + 5 будет иметь наибольшее значение. Функция квадратного корня монотонно возрастает на всей области определения, значит, наибольшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция – х 2 – 4х + 5 будет иметь наибольшее значение. Старший коэффициент квадратного трехчлена равен – 1< 0, значит, ветви параболы направлены вниз. И наибольшее значение квадратичная функция будет иметь в вершине. (-1) -4 х 2* 0 = -2 a b х 2 0 Итак, наибольшее значение функция квадратного корня примет, когда промежуточная квадратичная функция примет наибольшее значение, т.е. в точке х = – 2. Вычислим его: 3 х 1 0 х В 14 3 D(y)

Найдите наименьшее значение функции 4. xgxgfxgf /// x = - 1 D(y) Найдем критические точки, которые принадлежат D(у). Вычислим производную, используя формулу для вычисления производной сложной функции. + – x y\y\ y min Наименьшее значение функция примет в точке минимума. 3 х 1 0 х В D(y): Rx aaa хх ln / >0>0

Найдите наименьшее значение функции 4. D(y): Rx Решим задание без вычисления производной. Показательная функция с основанием 2>1 монотонно возрастает на всей области определения. Значит, наименьшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргументат.е. квадратичная функция х 2 + 2х + 5 будет иметь наименьшее значение. Показательная функция с основанием 2>1 монотонно возрастает на всей области определения. Значит, наименьшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция х 2 + 2х + 5 будет иметь наименьшее значение. Старший коэффициент квадратного трехчлена равен +1> 0, значит, ветви параболы направлены вверх. И наименьшее значение квадратичная функция будет иметь в вершине. 1 2 х 2* 0 a b х 2 0 Итак, наименьшее значение показательная функция примет, когда промежуточная квадратичная функция примет наименьшее значение, т.е. в точке х = – 1. Вычислим его: D(y) = – 1 3 х 1 0 х В способ

Найдите наибольшее значение функции 6. 4 – 2х – х 2 0 D(y): Решим задание без вычисления производной. Логарифмическая функция с основанием 5 является монотонно возрастающей на всей области определения. Значит, наибольшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргументат.е. квадратичная функция 4 – 2х – х 2 будет иметь наибольшее значение. Логарифмическая функция с основанием 5 является монотонно возрастающей на всей области определения. Значит, наибольшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция 4 – 2х – х 2 будет иметь наибольшее значение. Старший коэффициент квадратного трехчлена равен –1

Что общего между функцией, забором и клубникой?

« Самый плохой архитектор от наилучшей пчелы с самого начала отличается тем, что, прежде чем строить ячейку из воска, он уже построил ее в своей голове. » К. Маркс

Задача : Какими должны быть размеры участка прямоугольной формы площадью, чтобы на его ограждение было израсходовано наименьшее количество материала ? Составим математическую модель задачи : из всех прямоугольников площадью 1600 кв. м найти прямоугольник наименьшего периметра

Из всех прямоугольников площадью 1600 кв. м найти прямоугольник наименьшего периметра. 1. Р – периметр прямоугольника 2. х ( м ) – длина прямоугольника х

x = 40 – точка минимума, значит функция р ( х ) в этой точке принимает наименьшее значение. Следовательно и периметр прямоугольника будет наименьшим. 040х +-

Длина участка – 40 ( м ) Ширина участка – 40 м Длина прямоугольника – 40 ( м ) Ширина прямоугольника – Ответ: длина участка 40 м, ширина участка – 40 м.

Задача : Выращенную на участке клубнику ученики отправляют в детский сад в коробках, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, периметр боковой грани которого 72 см. Какими должны быть размеры коробки, чтобы ее вместимость была наибольшей ?

Математическая модель : Из всех прямоугольных параллелепипедов с квадратным основанием, периметр боковой грани которого 72 см, найти параллелепипед наибольшего объема. Р = 72 см

Из всех прямоугольных параллелепипедов с квадратным основанием, периметр боковой грани которого 72 см, найти параллелепипед наибольшего объема. Р = 72 см х 36 – х х 1. V – объем прямоугольного параллелепипеда 2. х ( см ) – длина прямоугольного параллелепипеда, х ( см ) – ширина прямоугольного параллелепипеда 36 – х ( см ) – высота прямоугольного параллелепипеда

x = 24 – точка максимума, значит функция v ( х ) в этой точке принимает наибольшее значение. Следовательно и объем прямоугольного параллелепипеда при х = 24 будет наибольшим. 036х +- 24

Длина прямоугольного параллелепипеда – 24 ( см ) Ширина прямоугольного параллелепипеда – 24 ( см ) Высота прямоугольного параллелепипеда – 36 – 24 = 12 ( см ) Ответ : ч тобы вместимость коробки была наибольшей, ее размеры должны быть 24 см, 24 см, 12 см

Всем спасибо! Молодцы!