МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ Ученица 7а класса Шахова Анна

Из глубины веков Священные, волшебные, загадочные, таинственные, совершенные… Как только их не называли! «Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа, называемые некоторыми планетными, а другими – магическими», - писал о них известный французский математик, один из создателей теории чисел Пьер де Ферма.

Магическим квадратом n-го порядка называется квадратная таблица размером n×n, заполненная натуральными числами от 1 до n 2, суммы которых по всем строкам, столбцам и обеим диагоналям одинаковы. Различают магические квадраты чётного и нечётного порядка(в зависимости от чётности n).

Самый «старый» из дошедших до нас магический квадрат – таблица Ло шу (около 2200 г. до н. э.)

Магический квадрат 4-го порядка, был известен ещё древним индусам. Он интересен тем, что сохраняет свойство быть магическим после последовательной перестановки строк (столбцов)

В начале XVI в. немецкий художник Альбрехт Дюрер увековечил магический квадрат в искусстве, изобразив его на гравюре «Меланхолия»

Квадрат Дюрера имеет размер 4×4 и составлен из шестнадцати первых натуральных чисел, сумма которых в каждой строке, столбце и на диагонали равна

Оказывается, 34 равны и суммы других четвёрок чисел: расположенных в центре, в угловых клетках, по бокам центрального квадрата, а также образующих четыре равных квадрата, на которые можно разделить исходный квадрат

Как построить магический квадрат? Поиском способов составления магических квадратов многие математики. Известные на сегодня правила построения таких квадратов делятся на три группы в зависимости от порядка квадрата. Однако общего метода построения до сих пор не существует.

Построение магического квадрата нечётного порядка Метод Баше был известен ещё древним индусам и не раз открывался заново. Французский математик Баше де Мезириак открыл этот метод ещё в XVII в.

Все натуральные числа от 1 до 25 запишем в клетках по диагонали (по 5 в ряд) так, чтобы получился диагональный квадрат

Выделим в центре квадрат размером 5×5. Он и составит основу будущего магического квадрата

Каждое число, находящееся вне центрального квадрата, перенесём внутрь – к его противоположной стороне, сдвигаясь при этом на 5 клеток

Магический квадрат готов

Построение магического квадрата чётного порядка Рассмотрим на примере магического квадрата 8-го порядка, составленного из натуральных чисел от 1 до 64. Метод включает следующие шаги.

Разделим исходный квадрат на квадраты 4-го порядка. В каждом из них закрасим все клетки, лежащие на обеих диагоналях

Заполним клетки построчно данными числами, двигаясь слева направо и сверху вниз, пропуская при этом те из них, что соответствуют закрашенным клеткам

Выделенные на первом шаге клетки заполним пропущенными числами в порядке возрастания, двигаясь справа налево и снизу вверх. Магический квадрат построен

Рассмотрим способы построения магического квадрата любого чётного порядка. Во всех случаях таблицу n×n заполняют слева направо и сверху вниз натуральными числами от 1 до n 2 в их естественном порядке. Затем по определённому правилу переставляют числа в некоторых клетках, после чего квадрат становится магическим.

Рассмотрим случай, когда после деления исходного квадрата на четыре равные части получаются квадраты чётного порядка. Такой квадрат называют чётно-чётным

Разделим квадрат, заполненный числами от 1 до 64, на квадраты 4-го порядка

В каждой строке и столбце верхнего левого квадрата закрасим в шахматном порядке по две клетки

Для каждой из отмеченных клеток выделим тем же цветом симметричную ей относительно вертикальной оси

Число, стоящее в каждой из шестнадцати закрашенных клеток, переставим с числом из соответствующей центрально- симметричной клетки

Построение квадрата завершено

Рассмотрим случай, когда после деления исходного квадрата на четыре равные части получаются квадраты нечётного порядка. Такой квадрат называют чётно-нечётным. Его строят диагональным методом, применяя три типа перестановок чисел в клетках.

Для примера возьмём квадрат 10×10. Разделим заполненный числами от 1 до 100 квадрат на квадраты 5-го порядка

В левом верхнем квадрате закрасим разным цветом три группы клеток, при этом в каждой строке и в каждом столбце по две клетки из первой группы и по одной из второй и третьей. Одинаковым цветом выделим клетки, расположенные вдоль диагонали квадрата и прямых, ей параллельных

Клетки, симметричные клеткам первой группы относительно вертикальной оси, закрасим таким же цветом

Число, стоящее в каждой из отмеченных клеток, переставим с числом из соответствующей центрально- симметричной клетки

Получим квадрат, над которым ещё придётся работать

Содержимое каждой клетки второй группы обменяем с содержимым симметричной ей относительно горизонтальной оси квадрата

Получим квадрат, над которым ещё придётся работать

Содержимое каждой клетки третьей группы обменяем с содержимым симметричной ей относительно вертикальной оси квадрата

Магический квадрат построен

Вопросы Изучая способы построения магических квадратов, я поняла, что важно знать их постоянные, т. е. сумму чисел в любой строке, столбце или на диагонали. Конечно, если квадрат построен и значение n невелико, то сумму можно вычислить. А А что делать, если квадрат ещё не построен? И Или нужно проверить, является ли данный квадрат магическим? И как составить сам квадрат, не зная его постоянной?

Существует формула для вычисления постоянной магического квадрата

Магические квадраты Заинтересовали меня своей занимательностью. Для их решения требуется смекалка, умение подмечать числовые закономерности. Решение таких задач доставляет удовольствие и служит прекрасной гимнастикой для ума.