Сеть творческих учителей. Сообщество учителей математики. Творческая группа Мастерская. Мультимедийные презентации для уроков математики.

Вот так представлена теорема Пифагора в учебнике. Текст плюс чертеж. Достроим треугольник до квадрата со стороной a+b так, как показано на рисунке. В презентации можно сделать чертеж динамическим, т.е. показать последовательные шаги построения, показать динамику дополнительных построений, необходимых для доказательства. a b c a a a a c c c c b b b b

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. a b cb b a a =

a b c b a b a=

c a b-ab-ab-ab-a b a a b c Еще один алгебраический способ доказательства теоремы. Доказательство Бхаскара (XII в.)

Для прямоугольных треугольников составить равенства, выражающие зависимость между сторонами прямоугольного треугольника, по теореме Пифагора. АВ 2 =АО 2 + ОВ 2 DC 2 = DO 2 + OC 2 АD 2 = DO 2 + OA 2 ВС 2 = ВО 2 + ОС 2 А В С D О АВСD – ромб

Для прямоугольных треугольников составить равенства, выражающие зависимость между сторонами прямоугольного треугольника, по теореме Пифагора. А С В М Р К МР 2 + РС 2 = МС 2 КВ 2 + КМ 2 = МВ 2 АР 2 + РМ 2 = МА 2 СК 2 + МК 2 = МС 2

Для прямоугольных треугольников составить равенства, выражающие зависимость между сторонами прямоугольного треугольника, по теореме Пифагора. АВ 2 =АО 2 + ОВ 2 DC 2 = DO 2 + OC 2 АD 2 = DO 2 + OA 2 ВС 2 = ВО 2 + ОС 2 А В С D О АВСD – ромб

Для прямоугольных треугольников составить равенства, выражающие зависимость между сторонами прямоугольного треугольника, по теореме Пифагора. А С В М Р К МР 2 + РС 2 = МС 2 КВ 2 + КМ 2 = МВ 2 АР 2 + РМ 2 = МА 2 СК 2 + МК 2 = МС 2

А В Доказательство: ДП биссектриса ВD АВD=СBD (1 приз) DС Дано: АВС р/б, АС – основание Доказать: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. 1. АВ = ВС, т.к. АВС р/б 2. ВD – общая 3. ABD= СВD, т.к. ВD – биссектриса.

III признак равенства треугольников по трем сторонам. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. УСЛОВИЕУСЛОВИЕ З А К Л Ю Ч Е Н И Е

А1А1 В1В1 С1С1 Приложим треугольник А 1 В 1 С 1 к АВС. Дано: АВС, А 1 В 1 С 1, А В С АВ = А 1 В 1 Доказать: АВС = А 1 В 1 С 1, АС = А 1 С 1 СВ = С 1 В 1 ( ) ). АВС = А 1 В 1 С 1 (I. приз.) Теорема доказана. 3). А 1 СВ 1 = А 1 С 1 В 1 1). В 1 С 1 С – р/б, т.к. В 1 С=В 1 С 1. 1 = 2. 2). А 1 С 1 С – р/б, т.к. СА 1 =С 1 А 1. 3 = 4. 1 случай: луч СС 1 проходит внутри угла А 1 С 1 В 1.

2 случай: луч С 1 С совпадает с одной из сторон угла А 1 С 1 В 1. 3 случай: луч С 1 С проходит вне угла А 1 С 1 В 1. С В А С1С1 А1А1 В1В1 В С А А1А1 В1В1 С1С1 Попробуй доказать эти случаи сам.

ВЕРНО! А С В АВС равнобедренный. Для угла В найди равный и щелкни по нему мышкой! Проверка В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В= А Подумай!

АК Р С В АСК PCB АСВ АСР KCB PCK Найдите равнобедренные треугольники. Дополнительный вопрос Для угла В найди равный и щелкни по нему мышкой. ВЕРНО!

ABC O N K D С В А Найди равнобедренные треугольники. ADN OBK KCD KDN BKN OKN Для угла АDN найди равный и щелкни по нему мышкой. Дополнительный вопрос умница!

23см 54 0 Для красного треугольника найдите равный и щёлкните по нему мышкой. 23см см Проверка 54 0 Не верно! S K D А N I O C B M E Z

Дано: АВСD параллелограмм. Длина одной из сторон составляет 80% от длины другой стороны. Полупериметр равен 18 см. Дано: АВСD параллелограмм. Длина одной из сторон составляет 80% от длины другой стороны. Полупериметр равен 18 см. Найти: длину меньшей стороны этого параллелограмма, если В А С D х 0,8 х х + 0,8х = 18 1,8х = 18 х = 10 Доказать:АВСD – параллелограмм. Доказать: АВСD – параллелограмм. Дано: ABCD четырехугольник ВО = ОD, СО = ОА В А С D О :1,8

В А С D Доказать, Доказать, что АPCQ – параллелограмм. Дано: Дано: ABCD параллелограмм, BD – диагональ, BP=QD. Р Q О

2 1 b а c а II b Дано: а II b, с – секущая 1 : 2 = 5 : 4 Найти: 1 и 2 5х 4х AB = BC, A=60 0, CD – биссектриса угла ВСЕ. АВ II CD Докажите, что АВ II CD. A С B D E биссектриса 5 : 4 Пусть х – 1 часть

Свойства площадей Свойства площадей Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. Это свойство поможет нам вычислять площади различных фигур. S1S1 S2S2 S3S3 S = S 1 + S 2 + S 3

478. В выпуклом четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей. М В Р К О +

Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту. оснований на высоту. А С D В H H1H1 +

М N А В С Следствие 2. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания. то их площади относятся как основания. H S MBN S ABC = MN AC Повторение.

F R А В С Следствие 2. Тренировочные задания. D S FBR S ABC = FR FR AC BD – общая высота треугольников Используем это свойство для доказательства теоремы об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу.

Теорема. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы. А1А1 В1В1 С1С1 В С А

А1А1 В1В1 С1С1 СН – общая высота треугольников АВС и АВ 1 С ( ) В С А Н В 1 Н 1 – общая высота треугольников АВ 1 С и АВ 1 С 1 Н1Н

А В С Найти 3 5 K M 7 2 N

А В С Найти S COD, если S AOB = 20см D O 5 2 S AOB = 20см 2