Тема: Тема: Расстояние от точки до прямой. Расстояние между скрещивающимися прямыми, геометрические методы. Урок 5 «Решаем С2 ЕГЭ» Разработала: Куракова Е. В., учитель математики МБОУ СОШ с УИОП 38 им. Е. А. Болховитинова 11 класс физико - математического профиля

Цели : Повторить понятие расстояние от точки до прямой и расстояние между скрещивающимися прямыми. Повторить понятие расстояние от точки до прямой и расстояние между скрещивающимися прямыми. Закрепить методы введение координат Закрепить методы введение координат Рассмотреть примеры С 2 ЕГЭ Рассмотреть примеры С 2 ЕГЭ Блитц-опрос по терминам

1 1. В правильной шестиугольной призме АВС DEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки С до прямой F 1 E 1. B C D E F A B1B1B1B1 C1C1C1C1 D1D1D1D1 E1E1E1E1 F1F1F1F1 A1A1A1A R 6 = a

B 3. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от середины ребра AA 1 до прямой BD 1. A D E А1А1А1А1 B1B1B1B1 D1D1D1D1 E1E1E1E1 C F C1C1C1C1 F1F1F1F K Можно «раскрутить» решение, вычисляя высоту KO из треугольника KBD 1. O А можно получить трапецию. При построении следа секущей плоскости на грани AEE 1 А 1, строим линию параллельно BD 1, т.к. противоположные грани параллелепипеда параллельны.P1 2 3 BED С A F R = a 11 31

8. Дан куб АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 с ребром 2. Найдите расстояние от середины ребра В 1 С 1 до прямой МТ, где точки М и Т – середины ребер AD и А 1 В 1 соответственно. B А D С А1А1 В1В1 С1С1 D1D12 Т М Сначала будем искать плоскость, которую определяют прямая и точка. Затем, в полученной плоскости строить перпендикуляр из точки на заданную прямую. S 22 Построенное сечение – правильный шестиугольник.TS M ST – искомое расстояние.

10. В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 на диагоналях AD 1 и D 1 B 1 взяты точки E и F, так то D 1 E = AD 1, D 1 F = D 1 B 1. Найдите расстояние от точки D 1 до прямой EF D В C1C1C1C1 D1D1D1D1 А A1A1A1A1 1 1 С B1B1B1B1 1 E F X AD 1 B 1 – равносторонний. D 1 E = AD 1 = * = D 1 F = D 1 B 1 = * =

D В C1C1C1C1 D1D1D1D1 А A1A1A1A1 1 1 С B1B1B1B1 1 E F X 1 D1D1 E F X Чтобы найти высоту D 1 X, выразим два раза площадь треугольника D 1 EF. 1

2 16. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой, равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки C до прямой SF. A B C D E F 1 2 S 1 Сначала ищем плоскость, которую определяют прямая и точка. Затем, в этой плоскости построим перпендикуляр из точки на заданную прямую. 2 CFE D B A R = a K

1.Ребро куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равно 6. Найдите расстояние от ребра DC до диагонали D 1 B куба. D С1С1С1С1 D1D1D1D1 А А1А1А1А1 6 6 В В1В1В1В1 6 1.Через прямую В D 1 проходит плоскость, параллельная второй прямой DC (т.к. A В II CD, а AB A ВС 1 ). Р 2. Плоскость BCC 1 перпендикулярна к плоскости A ВС Из точки С опускаем перпендикуляр на линию пересечения плоскостей ВС 1. СР – искомое расстояние. С 45 0

3.В правильной четырехугольной призме АВС DA 1 B 1 C 1 D 1, стороны основания которой равны 4, а боковые ребра равны 5, найдите расстояние между прямыми АС и ВС 1. А C B С1С1С1С1 А1А1А1А1K5 4 4 N L B1B1B1B1 D1D1D1D1 D 1.Через прямую ВС 1 построим плоскость, параллельную второй прямой А C (т.к. A С II А 1 C 1, а A 1 С 1 ВА 1 С 1 ). 2. Плоскость DBB 1 перпендикулярна к плоскости ВА 1 С Из точки N опускаем перпендикуляр на линию пересечения плоскостей В L. NK – искомое расстояние

L N 5 22 B А C B С1С1С1С1 А1А1А1А1K4 N L B1B1B1B1 D1D1D1D1 D 533 Найдем NK через площадь. K

a a II На рисунке две скрещивающиеся прямые a и b. Через каждую из них проведена плоскость, параллельная другой прямой. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны. На этом утверждении основан метод определения расстояния между двумя скрещивающимися прямыми, как расстояния между плоскостями, проведенными через каждую из данных прямых параллельно другой прямой. b a b a 9. В пирамиде D АВС все ребра равны a. Через Р и К обозначим середины ребер BD и CD соответственно. Найдите расстояние между прямыми АВ и РК.

M О P В пирамиде D АВС все ребра равны. Через Р и К обозначим середины ребер BD и CD соответственно. Найдите расстояние между прямыми АВ и РК. a D C A B 60 0 Fa K L a Построим расстояние между параллельными плоскостями. ? О – точка пересечения медиан. Применим свойство медиан: медианы треугольника пересекаются в отношении 2 к 1, считая от вершины С O : OM = 2 : 1. Вся медиана CM – это 3 части. M О = : 3 = (это 1 часть) C О = : 3 * 2 = (это 2 части) 3 a 2 3 a 6 3 a 2 3 a 3 3a3 KL II CO. Тогда по теореме Фалеса : если DK = KC, тогда DL = LO. 3 a 2

Применим определение расстояния между скрещивающимися прямыми. Построим плоскость параллельную прямой АВ и проходящую через другую прямую. АВ II CD, SC SDC, значит, АВ II SDC. 10. В правильной четырехугольной пирамиде S АВС D высота SO вдвое больше стороны основания ABCD. Найдите расстояние между прямыми AB и SC, если сторона основания пирамиды равна 17. S А С В D 17 N P Расстояние между срещивающимися прямыми равно расстоянию между прямой АВ и параллельной плоскостью SDC. M NP – искомое расстояние (отмечу, что этот отрезок не общий перпендикуляр наших скрещивающихся прямых) SN = SM SN = SM O 34172

S О M N 17 P S А С В D 17 N P M O Треугольники MSO и MNP подобны по двум углам: угол M – общий, MOS и NPM – прямые

M C A B N 13.В основании пирамиды M АВС лежит равнобедренный прямоугольный треугольник АВС (АС=ВС=4). Ребра МА, МВ и МС равны 8. Найдите расстояние между прямыми АВ и СМ АВС и A М C – равнобедренные, значит, высота является и медианой. Прямая АВ перпендикулярна плоскости MCN, а прямая МС лежит в этой плоскости. Опустим перпендикуляр из точки N на прямую МС в этой плоскости. NK – искомое расстояние (общий перпендикуляр).K

M C A B N K N M22 К С 14 8 h x 8-x Применили теорему Пифагора для прямоугольных треугольников С NK и NKM. Подставим в первое уравнение «–» 2

Мы уже решали задачу о нахождении высоты треугольника через площадь. Но можно применить и подобие треугольников KCD и С ND. Треугольники подобны по двум углам: угол D – общий, KCD и CND – прямые.2 2 А В С1С1 В1В1 2 3 D P А1А1 С32 32 K N N С D K 13 2 Составим пропорцию сходственных сторон.

В С А В1В1 А1А1 С1С1 7. Основанием прямой призмы ABCA 1 B 1 C 1 является прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. ВС = 3. Высота призмы равна 4. Найдите расстояние от точки В до плоскости АСВ 1. 3 N 4 BK – искомое расстояние. Обоснуем. п - я н - я K тогда АС будет перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. В K – перпендикуляр к плоскости, искомое расстояние, которое легко выразив два раза площадь треугольника ВСВ 1. п-яп-яп-яп-я н-ян-ян-ян-я

С А В1В1 А1А1 С1С1 3 N 4 5 В K

Домашнее задание 1.В правильной шестиугольной призме АВСDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние от точки D до прямой F 1 E 1. 2.В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от середины ребра BB 1 до прямой BD 1. 3.В правильной четырехугольной пирамиде SАВСD высота SO вдвое больше стороны основания ABCD. Найдите расстояние между прямыми AD и SC, если сторона основания пирамиды равна В основании пирамиды MАВС лежит равнобедренный прямоугольный треугольник АВС (АС=ВС=4). Ребра МА, МВ и МС равны 8. Найдите расстояние между прямыми АD и СМ.