«П ОВТОРЕНИЕ. Р ЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ». Проект урока алгебры в 11 классе Учитель Богдашкина В.А. С. Троицкое, 2014 год

Ц ЕЛИ УРОКА : -Создания условий для осознанного усвоения решения тригонометрических уравнений. -Формирование навыков самоконтроля и взаимоконтроля. -Развитие устной математической речи. Обеспечение условий для развития умения решать тригонометрические уравнения, совершенствовать мыслительные умения старшеклассников: сравнивать, обобщать и анализировать

Устный счет х у 0 0 рад П/2 П - П/2 3п/2 Sin x = 1 cos x = 0 sin x = - 1 tg x = 0 cos x = 1 ctg x =0 sin x = ½ cos x =3/2 sin x = - 3/2 cos x = -1/2

С ПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Уравнения, приводимые к квадратным уравнениям Однородные уравнения Разложение на множители Замена переменной Метод вспомогательного угла Понижение степеней

Определите вид уравнения и укажите способ его решения: а) sin x = 2 cos x; б) sin x + cos x = 0; в) 4 cos 3x + 5 sin 3x = 0; cos²x + 3 sin²x = 0; г) 1 +7 cos²x + 3 sin²x = 0; д) sin 3x – cos 3x = 0; д) sin 3x – cos 3x = 0; е) sin x cos x + cos²x е) sin x cos x + cos²x = 0

О ДНОРОДНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

a sin x + b cos x = 0, где a 0, b 0. При делении уравнения a sin x + b cos x = 0, где a 0, b 0 на cos x 0 корни этого уравнения не теряются. sin²x+cos²x аsin²x+ bsinx cosx + ccos²x= 0 где а 0, b 0, с 0. sin²x cos²x если в этом уравнении есть одночлен аsin²x, то делим уравнение на cos²x 0 (так как sinх и cosх одновременно не могут равняться 0). cos²x b sin x cos x + c cos²x = 0, где b 0, с 0. sin²x (т.е. в уравнении нет одночлена a sin²x), то уравнение решается путем разложения на множители.

О ДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ 3sin²x+sinx cos x=2cos²x Делим на sin²x обе части уравнения 3+cosx/ sinx=2cos²x/sin²x Известно,что ctg x= cos x/sin x Получим 3+ctgx=2ctg²x Пусть a=ctg x 3+a=2a² 2a²-a-3=0 a 1 =1,5 a 2 =-1 Получим ctg x=1,5 ctg x=-1 X=arcctg1,5+Пn x=3П/4+Пm

Р ЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ sin²x - cos²x = cos4x

Р ЕШЕНИЕ. sin²x-cos²x =cos4x, - (cos² - sin²x )=cos4x, -cos2x = cos²2x - sin²2x, -cos2x = cos²2x – ( 1 - cos²2x), -cos2x - cos²2x +1 - cos²2x = 0, -2cos²2x – cos2x +1 = 0, 2cos²2x + cos2x -1 = 0. Заменим сos2x на У, где |У| 1 Тогда 2 у² +у -1 = 0, D =1 - 42(-1) =9, У =1/ 2, у = -1. Выполним обратную замену Cos2x =1/ 2, cos2x = -1, 2x = П+2Пn, n Z, 2x =±arccos1/2 =2Пn, n Z, x=П/2+Пn, n Z. 2x ±П/3 +2Пn. n Z, X =±П/6+Пn, n Z. Ответ: X =±П/6+Пn, x=П/2+Пn, n Z.

Решение простейших уравнений Решим уравнение Уравнение однородное, так как степени слагаемых, содержащих переменные одинаковые

Р ЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВИДА

Р ЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ

Проверьте себя: Здесь Поделим обе части уравнения на 5: Введем вспомогательный аргумент, такой, что,. Исходное уравнение можно записать в виде, откуда Ответ:

З АМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ 2(1+tgx) - 3 =5 1+tgx Пусть y=1+tgx 2y - 3 =5 Y 2y²-3=5y y0 2y²-5y-3=0 y1=3, y2=-0,5 1+tgx=3 1+tgx=-0,5 tgx=2 tgx=-1,5 X 1=arctg2+Пn x 2=-arctg1,5+Пk

Р АЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ 4sin²x-sin2x=0 4sin²x-2sinx cosx=0 2sinx(2sinx-cosx)=0 Sinx=0 или 2sinx-cosx=0 x1=Пn 2sinx - cosx=0 sinx sinx 2-ctgx=0 ctgx=2 X2=arcctg2+Пk

М ЕТОД ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО УГЛА Cos3x+sin3x=1 A²+B²=1²+1²=2 Делим обе части уравнения на 2 1 cos3x+1 sin3x= Пусть cosφ=1/2, sinφ=1/2,φ=П/4 cosφ cos3x+sinφ sin3x=1/2 Cos(3x-φ)=1/2 3x-φ=±П/4+2Пn 3x=±П/4+φ+2Пn, X=±П/12+П/12+2Пn/3

П ОНИЖЕНИЕ СТЕПЕНЕЙ 4 4 Sin x+cos x=1/2 (Sin²x)²+(cos²x)²=1/2 Известно, что sin²(x/2)=1-cosx, cos²(x/2)= 2 =1+cosx 2 1-cos2x ²+ 1+cos 2x ² = cos2x+cos²2x+1+2cos2x+cos²2x=2 2cos²x=0 cosx=0 X=П/2+Пn

Спасибо за работу!!!