Формирование умений решения уравнений и неравенств с параметром с использованием интеграции знаний по математике при подготовке к независимому внешнему оцениванию

Вступление Реализация подхода к обучению решения уравнений и неравенств через процесс интеграции знаний и умений требует актуализации знаний из разных разделов элементарной математики. Здесь необходимы знания приемов и способов решения уравнений и неравенств, свойств функций (области определения и значения, монотонность, периодичность, ограниченность, непрерывность и т.д.), способов их исследования, действий (умножения, деления, возведения в степень, логарифмирования, потенцирования и др.) над разными алгебраическими выражениями и другое. Реализация подхода к обучению решения уравнений и неравенств через процесс интеграции знаний и умений требует актуализации знаний из разных разделов элементарной математики. Здесь необходимы знания приемов и способов решения уравнений и неравенств, свойств функций (области определения и значения, монотонность, периодичность, ограниченность, непрерывность и т.д.), способов их исследования, действий (умножения, деления, возведения в степень, логарифмирования, потенцирования и др.) над разными алгебраическими выражениями и другое.

Вступление Такой подход к обучению решения уравнений и неравенств интегрирует весь курс алгебры. Речь идет о формировании общи предметно – методических способностей ученика к решению уравнений и неравенств путем использования аналитического решения или графического представления условий, которые заданы уравнением или неравенством. Такой подход к обучению решения уравнений и неравенств интегрирует весь курс алгебры. Речь идет о формировании общи предметно – методических способностей ученика к решению уравнений и неравенств путем использования аналитического решения или графического представления условий, которые заданы уравнением или неравенством.

Вступление Графические решение уравнений или неравенств требует обратного процесса, а именно трансляции найденного и представленного в графическом виде решения в аналитический или числовой вид. Творчество состоит в том, чтобы исходя из графического решения данного уравнения или неравенства, конкретного способа решения как графической иллюстрации условий уравнения или неравенства, ученик «преобразовал» свои интегрированные знания, как «возможные» в актуальную действительность в виде материальных знаковых систем. Графические решение уравнений или неравенств требует обратного процесса, а именно трансляции найденного и представленного в графическом виде решения в аналитический или числовой вид. Творчество состоит в том, чтобы исходя из графического решения данного уравнения или неравенства, конкретного способа решения как графической иллюстрации условий уравнения или неравенства, ученик «преобразовал» свои интегрированные знания, как «возможные» в актуальную действительность в виде материальных знаковых систем.

Вступление Проиллюстрируем изложенные выше мысли на примерах решения уравнений и неравенств с параметрами. Проиллюстрируем изложенные выше мысли на примерах решения уравнений и неравенств с параметрами.

Уже на первых уроках алгебры мы знакомимся с уравнениями с параметрами, рассматривая линейные уравнения Уже на первых уроках алгебры мы знакомимся с уравнениями с параметрами, рассматривая линейные уравненияax=b (x – переменная, a и b - параметры) Очевидно, что При а0 уравнение имеет один корень х= При а0 уравнение имеет один корень х= При а=0, b0, уравнение не имеет корней При а=0, b0, уравнение не имеет корней При а=0, b=0, уравнение имеет множество корней При а=0, b=0, уравнение имеет множество корнейОтвет: х=, если а0, х=, если а0, корней нет, если а=0, b0 корней нет, если а=0, b0 х – любое действительное число при a=b=0 х – любое действительное число при a=b=0

Пример 1 Решить уравнение: (а 2 -1)·х=а+1 Решение Достаточно рассмотреть такие случаи: 1. а 2 -10, то есть а±1, тогда х=, х= 2. а 2 -1=0, а=1 или а=-1: a) а=1, то уравнение имеет вид: 0·х=2. Это уравнение решений не имеет. b) а=-1, то уравнение имеет вид 0·х=0, то есть х – любое число Ответ: х=, если а±1; х=, если а±1; Решений нет, если а=1; Решений нет, если а=1; х – любое число, если а=-1. х – любое число, если а=-1.

Пример 2 Решить неравенство (а 2 -4)·ха+2 Решение (а-2)(а+2)·ха+2 (а-2)(а+2)·ха+2 1. При а=-2 имеем 0·х0, то есть хєR 2. При а=2 имеем 0·х4, то есть решений нет 3. При а 2 -4>0, а 2 >4, ає(-;-2)U(2;), тогда х 4. При а 2 -4

Системы уравнений с параметрами Решить систему уравнений с параметрами – значит для любого допустимого значения параметра найти количество всех решений данной системы Решить систему уравнений с параметрами – значит для любого допустимого значения параметра найти количество всех решений данной системы a 1 x + b 1 y=c 1 a 1 x + b 1 y=c 1 a 2 x + b 2 y=c 2 a 2 x + b 2 y=c 2 Если, то система имеет одно решение; Если, то система имеет одно решение; Если, то система не имеет решений; Если, то система не имеет решений; Если, то система имеет бесконечное множество решений Если, то система имеет бесконечное множество решений

Пример 3 Найти все значения параметра, при которых система x+2ay=1 x+2ay=1 (3a-1)·x-ay=1 (3a-1)·x-ay=1 Имеет единственное решение Решение: 1. Система имеет единственное решение при 3а-1- 3а-1- 3a 3a a a

2. Отдельно надо рассматривать случаи а=0 и а= a) При а=0 исходная система имеет вид: x=1 x=1 -x=1 -x=1 x=1 x=1 x=-1 x=-1 Решений нет Решений нет b) При а= получим: х+ у=1 х+ у=1 - у=1 - у=1 у=-3 у=-3 х+ (-3)=1 х+ (-3)=1 х=3 х=3 у=-3 у=-3 Система имеет одно решение Итак, система имеет одно решение при а и а0 Ответ: ає(- ;0)U(0; )U( ;)

Пример 4 Найти все значения параметра, при которых система (а+1)·х+у=3 (а+1)·х+у=3 2х-(а-2)·у=6 2х-(а-2)·у=6 не имеет решений Решение Система не имеет решений, если -а²+а+2=2 -а²+а+2=2 а2 а2 а²-а=0 а²-а=0 а2 а2 а=0 или а=1 а=0 или а=1 а2 а2

1) Отдельно рассмотрим каждый из случаев При а=0 х+у=3 х+у=3 2х+2у=6 2х+2у=6 получим систему, которая имеет бесконечное множество решений. При а=1 2х+у=3 2х+у=3 2х+у=6 2х+у=6 получим систему, которая не имеет решений.

2) При а=2 получим систему 3х+у=3 3х+у=3 2х=6 2х=6 х=3 х=3 9+у=3 9+у=3 х=3 х=3 у=-6 у=-6 которая имеет одно решение. 3) При а=-1 получим систему у=3 у=3 2х+3у=6 2х+3у=6 у=3 у=3 х=-1,5 х=-1,5 система имеет одно решение. Ответ: а=1

Пример 5 Определить все значения параметра а, при которых уравнение 2ах²-4(а+1)·х+4а+1=0 имеет один корень. Решение Рассмотрим случай а=0, поскольку в условии не сказано, что рассматривается квадратное уравнение. При а=0 имеем -4х+1=0 -4х+1=0 х= х= Остальные значения параметра мы получаем из уравнения D=0, а лучше =0 Остальные значения параметра мы получаем из уравнения D=0, а лучше __=0 (2·(а+1))²-2а·(4а+1)=0 (2·(а+1))²-2а·(4а+1)=0 2а²-3а-2=0 2а²-3а-2=0 а 1 =- ; а 2 =2 а 1 =- ; а 2 =2 Ответ: а=0; а= - ; а=2

Пример 6 При каком значении параметра а один корень уравнения х²-(3а+2)·х+2а-1=0 больше 1, а другой меньше 1? Решение График функции у=х²-(3а+2)·х+2а-1=0 представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. По условию эта парабола должна пересекать ось х, причем отрезок [х 1 ;х 2 ] должен содержать внутри себя точку 1. х у 0 х1х1 х2х2 1

Следовательно, значение квадратного трехчлена х²- (3а+2)·х+2а-1 при х=1 должно быть отрицательным. Это условие является необходимым и достаточным, чтобы выполнялись неравенства х 1 1 у(1)=1-(3а+2)+2а-1 у(1)=1-(3а+2)+2а-1 у(1)=-а-2 у(1)=-а-2 у(1)

В общем случае для того, чтобы уравнение ах²+bх+с=0 имело хотя бы один корень меньше А, а другой больше А, необходимо и достаточно выполнение неравенства а·f(А)

Решение неравенств с параметром вида: (k 1 a+b 1 )·x²+(k 2 a+b 2 )·x+(k 3 a+b 3 )0; где х– переменная, а – параметр, k i и b i - действительные числа. Обозначим k 1 a+b 1 =а 1 ; k 2 a+b 2 =а 2 ; k 3 a+b 3 =а 3. Тогда неравенство можно записать в виде: а 1 x²+а 2 x+а 30. а 1 x²+а 2 x+а 30. Общий вид алгоритма решения полученного неравенства представим в виде блок-схемы, при условии, что D=а 2 ²-4а 1 ·а 3, и х 1 и х 2 – корни трехчлена (х 1 0, х 0 – корень трехчлена в случае D=0.

Оцениваем знак а 1 Находим значения параметра а и решения неравенства Оцениваем значение D Находим для каких значений пара- метра а х є Ø Находим для каких значений пара- метра а х є(х 1 ;х 2 ) Находим для каких значений пара- метра а х єR Находим для каких значений пара- метра а х є (-; х 0 ) U(х 0 ; ) Находим для каких значений пара- метра а х є (-; х 1 ) U(х 2 ; ) Записываем общее решение а10 D0D0 D=0

Пример 7 Решить неравенство (а-2)·х²-2(а+3)·х+4а>0 Решение Левая часть неравенства представляет собой квадратный трехчлен. Тогда неравенство можно записать в виде: а 1 x²+а 2 x+а 3 >0; где а 1 =а-2; а 2 =-2(а+3); а 3 =4а. Согласно с приведенной блок- схемой, получим: 1) а 1 =а-2=0, а=2. Тогда -2(2+3)·х+4·2>0, х 0, х

2) а 1 =а-2>0, а>2 Найдем D=4(а+3)²-16а·(а-2)=-12а²+56а+36= =-4(3а²-14а-9). Согласно блок-схеме рассмотрим случаи: а) D0 3а²-14а-9>0 ає(-; )U( ;) Учитывая условие а>2, имеем, что при ає( ;) хєR b) D=0 3а²-14а-9=0 3а²-14а-9=0 а= или а= Так как а>2, то при а= х=, х= То есть х=R \

c) D>0, тогда 3а²-14а-9 0, тогда 3а²-14а-9

3) а 1 =а-2

Объединяем случаи 1 – 3 для записи общего ответа: При а х=Ø При ає( ;2) хє При а=2 хє(-;0,8) При ає(2; ) хє(-; )U( ;) При а> хєR

Уравнения с параметрами, которые содержат знак модуля Пример 8 При каких значениях параметра а уравнение |х+2|=ах не имеет корней. Решение Способ 1. (аналитический) Решим данное уравнение для всех значений параметра а, после чего отберем те значения параметра, при каких уравнение не имеет решений.

По определению модуля исходное уравнение равносильно совокупности двух систем: х+2=ах или -(х+2)=ах х+2=ах или -(х+2)=ах х+20 х+2

//////////////////////////////////////// //////////////////////// Объединяя решения систем, имеем: данное уравнение имеет одно решение х= при а є ( - ; 0] U ( 1; ) U { 0 }; два решения х= и х= при а є ( -1; 0). Тогда уравнение не имеет решений при а є ( 0; 1]. 01

Способ 2 (геометрический) |х+2| = ах. Построим в одной системе координат графики функций у = |х+2| и у = ах. Очевидно, что графики функций не будут иметь общих точек, если а є ( 0; 1]. Ответ: а є ( 0; 1]. у=ах у=х у=|x+2| х у

Пример 9 Найти решения неравенства |х-а|·(5х²-2х–3)

Пример 10 Решить уравнение Решение При решении иррациональных уравнений и неравенств следует учитывать ОДЗ уравнения (неравенства) и равносильность преобразований, которые выполняем. То есть перед тем, как возвести обе части уравнения или неравенства в квадрат, надо проанализировать, какие значения (положительные или отрицательные) может иметь каждая часть.

Способ 1 а-2= х>-4 1) Если а-2-4 х>-4 а2 а2 х=а 2 -4а х=а 2 -4а х>-4 х>-4 а2 а2 а 2 -4а>-4 а 2 -4а>-4 а2 а2 х=а 2 -4а х=а 2 -4а (а-2) 2 >0 (а-2) 2 >0 а2 а2 х=а 2 -4а х=а 2 -4а Значит, при а>2, исходное уравнение имеет корень х=а 2 -4а

Способ 2 Построим график у=2+ Очевидно, что уравнение 2+ =а не имеет корней, если а 2; при а>2 уравнение имеет один корень х=а 2 -4а. Ответ : х=а 2 -4а при ає(2;) нет корней при ає(-;2] нет корней при ає(-;2] х у у=2+ y=a

Показательные и логарифмические уравнения с параметрами Решение какого – либо показательного уравнения сводится к решению уравнения вида a f(x) =b φ(x) a f(x) =b φ(x) которое имеет решение только при а>0 а>0 b>0 b>0 При а=b=1 решением уравнения является пересечение областей определения функций у=f(x) и у=φ(х).

D=D(f)D(φ) D=D(f)D(φ) При а=1 b1 b1 уравнение равносильно системе у(х)=0 хє0 при а1 b=1 получим равносильную систему f(х)=0 хє0 при а=b при а=b а>0 а>0 а1 а1 получим уравнение f(x)=φ(х), равносильное исходному уравнению. получим уравнение f(x)=φ(х), равносильное исходному уравнению.

Если аb а>0 а>0 b>0 b>0 a1 a1 b1 b1 то исходное уравнение равносильно уравнению log c a f(x) =log c b φ(x), где с1, с>0, чаще в качестве с берут а или b, тогда получим или f(x)=φ(x)·log a b, или φ(x)=f(x)·log b a.

Пример 11 Решить уравнение Решение Это уравнение при а>0 равносильно уравнению а -х-1 =а -2х+1 а -х-1 =а -2х+1 При а=1 хєR При ає(0;1)U(1;) получаем -х-1=-2х+1, откуда х=2 Ответ: х=2 при ає(0;1)U(1;); хєR при а=1 хєR при а=1 решений нет, если а0 решений нет, если а0

Решение логарифмического уравнения, как правило, удается привести к уравнению вида log a f(x)= log b φ(x) (а>0; а1; b>0; b1) log a f(x)= log b φ(x) (а>0; а1; b>0; b1) При а=b получим f(x)=φ(x) f(x)=φ(x) φ(x)>0 φ(x)>0 При аb log a f(x)= или

Пример 12 При каких значениях параметра а уравнение (х-а)·log 2 (3x-7)=0 (х-а)·log 2 (3x-7)=0 имеет один корень? Решение Данное уравнение равносильно совокупности уравнений: 3х-7=1 3х-7=1 х=а х=а х> х> х= х= х=а х=а х> х> Одно решение имеет уравнение, если а или а= а или а= Ответ: ає(-;2 ]U{2 }.

Показательные и логарифмические неравенства а f(x) >a φ(x) а f(x) >a φ(x) Если a>1, то f(x)>φ(x) Если 0

Пример 13 Решить неравенство а х²-х

Пример 14 Решить неравенство log 0,7 (х 2 +2х)а+1 а+1>0 а+1>0 Решаем неравенство х 2 +2х-(а+1)>0 х 2 +2х-(а+1)>0 х 2 +2х-(а+1)=0 х 2 +2х-(а+1)=0 D 1 =а+2 D 1 =а+2 х 1 =-1- ; х 2 =-1+ х 1 =-1- ; х 2 =-1+ хє(-;-1- )U(-1+ ;) при а>-1 Ответ: хє(-;-1- )U(-1+ ;) при а>-1 решений нет, если а-1 решений нет, если а х1х1 х2х2

Пример 15 Решить уравнение sin|x-3|=m-2 sin|x-3|=m-2Решение Уравнение имеет решение при -1m-31, -1m-31, 1m3 1m3 Тогда оно равносильно уравнению: |x-3|=(-1) n arcsin(m-2)+πn, nєZ |x-3|=(-1) n arcsin(m-2)+πn, nєZ Так как |x-3|0, то n может равняться таким целым значениям, чтобы правая часть уравнения была неотрицательной.

Отсюда при 0m-21, то есть 2m3 0arcsin(m-2), и поэтому n=0, 1, 2, 3… При -1m-20, то есть 1m2 - arcsin(m-2)