ЛЕКЦИЯ 1 по дисциплине «Физика, математика» на тему: «Основы теории вероятностей» для курсантов и студентов I курса ФПВ, ФПиУГВ, спецфакультета

ЛЕКЦИЯ 1 по дисциплине «Физика, математика» на тему: «Основы теории вероятностей» для курсантов и студентов I курса ФПВ, ФПиУГВ, спецфакультета

Кафедра биологической и медицинской физики одна из первых кафедр Военно- медицинской академии и старейшая кафедра физики в России (образована в 1795 г.).

Первым профессором кафедры стал Василий Владимирович Петров ( ) знаменитый русский ученый- естествоиспытатель, заложивший основы преподавания экспериментальной физики в России.

Понятие "Evidence-based Medicine", или "медицины, основанной на доказательствах" (доказательной медицины) было предложено канадскими учеными из университета Мак Мастера в Торонто в 1990 году.

Доказательная медицина подразумевает добросовестное, точное и осмысленное использование лучших результатов клинических исследований для выбора лечения конкретного больного.

Увеличение объема научной информации, в частности в области клинической фармакологии. Нехватка средств, связанных с расходами на здравоохранение.

Авторитет врача ("увеличение числа однотипных ошибок с увеличением стажа работы") Страстность ("эмоциональное воздействие на более спокойных коллег и родственников больных") Внешний облик врача и его красноречие ("хороший загар, шелковый галстук, вальяжная поза и красноречие как замена доказанным фактам") Провидение ("когда неизвестно, что делать с больным, вместо обоснованного решения полагаются на волю божью") Чувство неуверенности ("от чувства растерянности и отчаяния решения вовсе не принимаются") Нервозность ("в условиях постоянного страха перед судебным процессом врач назначает чрезмерное обследование и лечение") Самоуверенность ("в основном у хирургов")

По современным стандартам надежная оценка эффективности методов лечения и профилактики может быть получена только в ходе рандомизированных контролируемых клинических исследований – наиболее доказательных и объективных.

По окончании исследования сопоставляются частоты наступления клинически важных исходов – выздоровления, осложнения, смерти, а не суррогатные исходы – изменения физиологических, биохимических, иммунологических и других параметров.

Для получения выводов исследования необходимо учитывать неопределенность многих характеристик, а также конечность числа наблюдений. Наиболее приемлемым инструментом в этом случае оказываются методы теории вероятностей и медицинской статистики.

«Статистика – это совокупность методов, которые дают нам возможность принимать оптимальные решения в условиях неопределенности» (А. Вальд, американский математик).

Случайные события – это явления и факты, которые при различных условиях могут происходить или не происходить. Количественная оценка закономерностей, относящихся к случайным событиям, дается в разделе математики, называемом теорией вероятности.

Изучение закономерностей однородных массовых (статистических)случайных событий составляет предмет теории вероятности и основанной на ней математической статистики.

Изучение каждого отдельного явления с выполнением определенного комплекса условий называется испытанием (опытом, экспериментом). Всякий результат или исход испытания называется событием. События принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита A, B, C…

Возможность появления каждого события определяется специальной величиной – вероятностью наступления события – Р(А). Вероятность Р(А) – числовая характеристика степени возможности появления какого- либо определенного случайного события А при многократном повторении испытаний.

В «классическом» определении вероятности вероятность случайного события определяется как отношение числа равновозможных исходов опыта, благоприятствующих наступлению события, к общему числу равновозможных исходов. Р(А) = m/n

Из классического определения вероятности вытекает ряд ее свойств: Вероятность достоверного события, то есть события, которое происходит неизбежно в результате каждого испытания, равна 1. Вероятность невозможного события равна 0. Вероятность любого события удовлетворяет неравенству 0 Р(А) 1.

Классическое определение вероятности случайного события применимо только к испытаниям с конечным числом исходов, причем исходов равновероятных. Однако на практике часто рассматривают испытания, не удовлетворяющие этим условиям. В этом случае пользуются статистическим определением вероятности.

Вероятностью случайного события называется предел, к которому стремится относительная частота события (частость)при неограниченном увеличении числа испытаний. Р(А) = lim m/n n Здесь m – число событий; n –число испытаний.

В отличие от классического подхода к определению вероятности случайного события, в соответствии с которым для нахождения вероятности случайного события нет необходимости проводить реальные испытания, а достаточно теоретически изучить особенности их проведения, при статистическом подходе требуется проведение таких испытаний;

Статистическую вероятность события нельзя точно определить на основании конечного числа испытаний, каким бы большим оно ни было. Однако статистическую вероятность можно оценить приближенно по величине соответствующей относительной частоты.

Пусть проведено 5 серий по 100 выстрелов в цель, осуществленных одним и тем же спортсменом в одинаковых условиях. Количество выстрелов Количество попаданий в цель Относительная частота попаданий в цель , , , , , ,97

Относительная частота попаданий в цель не является величиной постоянной, а изменяется от серии к серии. Эта относительная частота не изменяется произвольно, а варьирует относительно среднего значения, равного 0,98. Статистическую вероятность попадания в цель можно принять примерно равной 0,98.

а) Достоверными, невозможными и случайными; б) Противоположное событие – происходит только тогда, когда событие А не происходит; Сумма вероятностей наступления случайного события А и противоположного ему события В равна 1. Р (А) + Р (В) = 1

в) Эквивалентные события – события с одинаковой вероятностью, независимо от их природы: Р(А) = Р(В); г) Несовместные события, если в условиях испытания каждый раз возможно появление только одного из них, т.е. никакие два не могут появиться вместе в этом испытании. В противном случае события называются совместными.

д) Независимые события – вероятность события А не зависит от того, произошло ли событие В. В противном случае события называются зависимыми.

В ряде случаев вычислить вероятность события оказывается проще, если представить его в виде комбинации более простых событий. Этой цели служат некоторые теоремы теории вероятностей.

Вероятность появления одного (безразлично какого) события из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Р (А или В или С) = Р(А) + Р(В) + Р(С)

Например, вероятность выпадения четного числа на верхней грани игральной кости: Р (2 или 4 или 6) = Р (2) + Р (4) + Р (6) = = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.

Вероятность одновременного появления двух или более независимых событий равна произведению их вероятностей. Р (А и В и С) = Р (А). Р (В). Р(С)

Пример: Найти вероятность того, что в семье из трех детей родятся два сына и одна дочь. Вероятность рождения мальчика Р (А) = =Р (В) = 0,515; вероятность рождения девочки Р(С) = 0,485. Р (А и В и С) = 0,515. 0,515. 0,485 = 0,129.

Если вероятность события А меняется в связи с появлением или непоявлением события В, то событие А называется зависимым от события В. Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело событие В, называется условной вероятностью события А; обозначение Р (А/В).

Вероятность появления двух зависимых событий одновременно равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго при условии, что первое событие осуществилось. Р (А и В) = Р (А). Р (В/А)

Пример: студент пришел на экзамен, зная 40 вопросов из 50. Найти вероятность того, что он ответит на 3 вопроса билета. Вероятность того, что студент ответит на первый вопрос: Р(А) = 40/50 = 4/5. Вероятность того, что он ответит на второй вопрос, вычисленная при условии, что он ответил на первый вопрос, т.е. условная вероятность, равна: Р (В/А) = 39/49. Вероятность того, что студент ответит на третий вопрос, при условии, что он ответил на первые 2 вопроса: Р (С/АхВ) = 38/48.

Искомая вероятность: Р (АхВхС) = Р (А) х Р (В/А) х Р (С/АхВ) = = 40/50 х 39/49 х 38/48 = 0,5.

Науку об измерениях физических величин и способах обеспечения необходимой точности этих измерений называют метрологией. Под физической величиной мы понимаем характеристику материальных объектов и явлений, которая может быть количественно оценена (т.е. измерена).

Основой для количественной оценки физической величины является единица измерения физической величины. Единицы измерения физических величин группируются в системы единиц.

В Международной системе единиц (СИ) основными единицами являются метр (м), килограмм массы (кг), секунда (с), моль (М), ампер (А), кандела (кд), кельвин (К). Все остальные единицы являются производными от основных (например, единица скорости (м/с), единица давления (Н/м 2 ) и т.п.

Величины, которые в зависимости от стечения случайных обстоятельств могут принимать различные значения, причем заранее неизвестно, какое именно значение, называются случайными величинами. Случайные величины принято обозначать заглавными буквами «второй половины» латинского алфавита (X, Y, Z), а их возможные значения – строчными буквами, например - x 1, x 2, x 3, …, x n.

Случайная величина называется дискретной, если совокупность всех ее возможных значений представляет собой конечное или бесконечное, но обязательно счетное множество значений. Примеры: число букв на странице книги, число волос на голове человека, количество очков, выпадающих при броске игральной кости, число больных на приеме у врача в течение дня и т.п.

Вероятность того, что дискретная случайная величина Х в i-м опыте примет значение x i, равна p i = P (X=x i ). Законом (или функцией) распределения дискретной случайной величины называется соотношение, устанавливающее связь между всеми возможными значениями этой случайной величины (x i )и соответствующими им вероятностями (p i ).

Закон или функция распределения могут быть заданы графически, аналитически или в форме таблицы. Пример: Имеется 10 студенческих групп, насчитывающих соответственно 12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 8, 10 и 11 студентов. Составить закон распределения случайной величины Х, определяемой как число студентов в наугад выбранной группе.

Возможными значениями рассматриваемой случайной величины являются (в порядке возрастания) 8, 9, 10, 11 и 12. Вероятность того, что х 1 = 8 (событие А), равна Р (А) = 2/10 = 0,2. Вероятность того, что х 2 = 9 (событие В), равна Р (В) = 1/10 = 0,1. Вероятность того, что х 3 = 10 (событие С), равна Р (С) = 3/10 = 0,3. Вероятности для х 4 и х 5 = 0,2.

Искомый закон распределения имеет вид: Х Р0,20,10,30,2

На практике закон распределения дискретной случайной величины часто неизвестен, но для определения особенностей случайной величины используют основные числовые параметры (характеристики), связанные с законом распределения. Это математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений этой величины на вероятности этих значений.

Например, если использовать данные предыдущего примера, то математическое ожидание M (X) = 8. 0, , , , ,2 = 10,1. Основной смысл математического ожидания дискретной случайной величины состоит в том, что оно представляет собой среднее значение данной величины.

Отдельные значения случайной величины группируются около математического ожидания. Степень рассеивания (разброса) характеризуется дисперсией. Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. D (X) = = M [(x i – μ) 2 ] Здесь μ = M(X) - математическое ожидание случайной величины.

На практике дисперсию часто удобнее вычислять по формуле: D (X) = σ 2 = M (X 2 ) – μ 2 Например, в том же примере с группами студентов: М(Х 2 ) = 64. 0, , , , ,2 = 103,9. Подставляя это значение и найденное ранее значение математического ожидания (μ = M(X) = 10,1), получаем D (X) = 103,9 – 10,1 = 1,89

Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением) случайной величины называют корень квадратный из дисперсии. Для нашего примера σ (Х ) = 1,37.

Случайная величина, принимающая любые значения в определенном интервале, называется непрерывной. Примеры: мгновенные значения скорости теплового движения молекул, температура тела человека, плотность воздуха в зависимости от высоты над поверхностью Земли и т.п.

Так как невозможно перечислить все значения непрерывной случайной величины и указать их вероятности, то промежуток между крайними значениями делят на определенное количество интервалов и определяют вероятность того, что те или иные значения величины попадают в эти интервалы (так называемую плотность вероятности).

Плотность вероятности, или функция распределения вероятностей [f (x)], показывает, как изменяется вероятность dP, отнесенная к интервалу dx некоторой величины, в зависимости от значений самой этой величины.

Вероятность того, что случайная величина принимает какое-либо значение в интервале (a,b):

Условие нормирования непрерывной случайной величины:

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины рассчитываются по формулам:

Нормальный закон распределения (закон Гаусса):

Здесь: a = M(x) – математическое ожидание случайной величины, σ – среднее квадратическое отклонение (соответственно, σ 2 -дисперсия случайной величины), е – основание натурального логарифма.

Кривая имеет колоколообразную форму, симметричную относительно точки х = a. Величина f (X ) в этой точке определяется формулой:

При изменении параметра a форма нормальной кривой не изменяется, график сдвигается влево или вправо. При изменении параметра σ форма нормальной кривой изменяется. Если этот параметр увеличивается, то максимальное значение функции f(x) убывает, и наоборот. С увеличением параметра σ кривая растягивается вдоль оси ОХ.

Важное значение нормального распределения во многих областях науки, например, в математической статистике и статистической физике, вытекает из центральной предельной теоремы теории вероятностей. Если результат наблюдения является суммой многих случайных слабо взаимозависимых величин, каждая из которых вносит малый вклад относительно общей суммы, то при увеличении числа слагаемых распределение центрированного и нормированного результата стремится к нормальному. Этот закон теории вероятностей имеет следствием широкое распространение нормального распределения, что и стало одной из причин его наименования.

Непрерывная случайная величина X, функция плотности вероятности которой задается выражением называется случайной величиной, имеющей показательное, или экспоненциальное, распределение.

Как видно из формулы, показательное распределение определяется только одним параметром λ. В этом его преимущество, так как обычно параметры распределения заранее неизвестны, и их приходится оценивать приближенно. Понятно, что оценить один параметр проще, чем несколько.