III признак равенства треугольников Артамонова Л.В. МОУ «Москаленский лицей»

III признак равенства треугольников Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

III признак равенства треугольников Пусть треугольники ABC и A1B1C1 такие, что AB=A1B1, AC=A1C1, BC=B1C1. Требуется доказать, что треугольники равны. Допустим, что треугольники не равны. Тогда вершина A вершине A1, вершина B вершине B1, вершина C вершине C1 одновременно. Иначе треугольники были бы равны по первому признаку. Пусть треугольник A1B1C2 – треугольник, равный треугольнику ABC, у которого вершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С1 относительно прямой A1B1. Доказательство 1

III признак равенства треугольников Пусть D – середина отрезка С1С2. треугольники A1C1C2 и B1C1C2 равнобедренные с общим основанием С1С2. Поэтому их медианы A1D и B1D являются высотами. Значит, прямые A1D и B1D перпендикулярны прямой С1С2. Прямые A1D и B1D не совпадают, так как точки A1, B1, D не лежат на одной прямой. Но через точку D прямой С1С2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

III признак равенства треугольников Рассмотрим треугольники АВС и А1В1С1, у которых АВ=А1В1, ВС=В1С1, СА=С1А1. Докажем, что АВС=А1В1С1. Приложим треугольник АВС к треугольнику А1В1С1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А1, вершина В с вершиной В1, а вершины С и С1 оказались по разные стороны от прямой А1В1. рассмотрим три случая: Доказательство 2

Третий признак равенства треугольников 1 случай : луч СС1 проходит внутри ے А1С1В1 (рис 1) Рис.1 2 случай: луч С1С совпадает С одной из сторон ےВ1С1А1(рис 2) Рис.2 3 случай: луч СС1 проходит вне ےВ1С1А1 Рис.3

Решение задач. K M L N Дано: Р KLN =21 cм, Р KLMN =26 см. Найти: NL. Решение: 1. KLN= NML (по третьему признаку равенства треугольников: 1. NK=LM 2. KL=NM}(по условию) 3. NL-общая 2. LN=P KLN -½P KLMN =21-½26=21-13= =8(cм) Ответ: 8 см

Используемая литература 1. Атанасян. Л.С. Геометрия 7-9: учебник для общеобразовательных у чреждений.-М: Просвещение, Брокгауз Ф.А, Ефрон И.А. Энциклопедический словарь- П: Русское слово, Зив Б.Г. и др. Задачи по геометрии: Пособие для учащихся 7-11 кл. общеобразоват.учреждений.-М.:Просвещение, с.: ил