Справочник школьника Геометрия Алгебра Автор учитель математики М-Алабушской школы Мешкова Г.В.

Прямоугольный параллелепипед Куб Призма Пирамида Усеченная пирамида Цилиндр Конус Усеченный конус Сфера и шар

Угол Свойства прямых и плоскостей Квадрат Треугольники Ромб Трапеция Многоугольник Окружность Вектор

а b c

а a a

h

h r

h r

h r r1r1 l

H R R Шаровой сектор

внутренние односторонние вертикальные смежные углы

a A S O B M C D b A A B B (SO) – перпендикуляр к плоскости (ABCD). O – проекция точки S. – расстояние от точки S до плоскости (ABCD). а– двугранный угол между плоскостями (SAB) и (ABCD). Теорема о трёх перпендикулярах:

a ad Диагональ квадрата Площадь:

Основные соотношения в треугольнике Биссектриса Площадь треугольника Прямоугольный треугольник Равнобедренный треугольник Равносторонний треугольник Средняя линия Медиана

Неравенство треугольника: a + b > c; a + c > b; b + c > a Сумма углов: a + b + g = 1800 Против большей стороны лежит больший угол, и обратно, против большего угла лежит большая сторона. Против равных сторон лежат равные углы, и обратно, против равных углов лежат равные стороны.

A B C a b c w acac abab Биссектриса – отрезок, выходящий из вершины треугольника и делящий угол пополам. Биссектриса делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам: a b : a c = b : c Биссектриса делит площадь треугольника, пропорционально прилежащим сторонам.

a haha a bc a b

a b a c – проекция катета a bcbc h Теорема Пифагора: Площадь: Тригонометрические соотношения: Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Высота, опущенная на гипотенузу: Катеты: Радиусы окружностей :

a bb Углы, при основании треугольника, равны Высота, проведенная из вершины, является биссектрисой и медианой.

a аа Треугольник, у которого все стороны равны. Все углы равны Каждая из высот является одновременно биссектрисой и медианой. Центры описанной и вписанной окружностей совпадают. Площадь: Радиусы окружностей :

A B C a b c nbnb Средняя линия – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине: Средняя линия отсекает подобный треугольник, площадь которого равна одной четверти от исходного

A B C a b c mama Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Медианы треугольника точкой их пересечения делятся в отношении 2:1 (считая от вершины треугольника). Медиана делит треугольник на два треугольника с равными площадями.

d1d1 d2d2 аа Параллелограмм, все стороны которого равны называется ромбом. Диагональ ромба является его осью симметрии. Диагонали взаимно перпендикулярны. Диагонали являются биссектрисами углов. Площадь:

a b h n Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а другие не параллельны, называется трапецией. Площадь: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна:

O r R Произвольный выпуклый многоугольник Сумма всех углов равна Число диагоналей: Правильный многоугольник: Правильным многоугольником называется многоугольник, у которого все стороны и углы равны между собой. Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность и в него вписать окружность, причём центры этих окружностей совпадают. Площадь правильного n–угольника: Сторона правильного n–угольника:

Длина окружности, площадь Сектор Хорда Центральный, вписанный угол Описанная окружность Вписанная окружность Касательная, секущая

R d хорда дуга диаметр радиус O Площадь круга: Длина окружности:

O A B Сектор – часть круга, ограниченная двумя его радиусами. Площадь сектора : Длина дуги сектора:

A B C D M Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен хорде. В окружности равные хорды равноудалены от центра окружности. Отрезки пересекающихся хорд связаны равенством:

вписанные углы центральный угол

O O O O Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его трем сторонам. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы. Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда трапеция равнобочная. Если окружность описана около произвольного четырехугольника, тогда попарные суммы противолежащих углов равны между собой:

O a b cd Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис треугольника. Если окружность вписана в произвольный четырехугольник, тогда попарные суммы противолежащих сторон равны между собой: a + b = c + d

O K A B C N M P Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку. Секущая – прямая, имеющая с окружностью две общие точки.

а b ос Координаты вектора: Длина вектора: Умножение вектора на число: Перпендикулярные вектора: Коллинеарные вектора: Скалярное произведение

Арифметический квадратный корень Деление с остатком Делимость натуральных чисел Десятичные числа Дробь Исследование графика функции Исследование графика функции Исследование функции Квадратная функция Квадратное уравнение Линейная функция Линейное уравнение Логарифм Логарифмическая функция

Метод интервалов Множество значений сложной функции Модуль Модуль: уравнения и неравенства Неравенства Область определения функции Определенный интеграл Первообразная элементарных функций Производная элементарных функций Показательная функция Правила вычисления первообразной функции Правила вычисления производной функции Преобразование графика функции Признаки делимости чисел Прогрессия Проценты Равносильные уравнения Свойства элементарных функций

Среднее арифметическое, геометрическое Степенная функция Степень Теорема Виета Теорема косинусов, синусов Тригонометрия Уравнение движения Уравнение касательной Формулы сокращенного умножения Функция корень Функция модуль Функция обратной пропорциональности Четность-нечетность функций Числовые множества

Определение Формулы Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a - называется неотрицательное число, квадрат которого равен a. Корнем k–ой степени из a (k - нечетное) называется число, k- ая степень которого равна a.

Формула деления с остатком:n = m k + r, где n – делимое, m - делитель, k - частное, r – остаток: 0 r < m Пример: Любое число можно представить в виде: n = 2k + r, где r = {0; 1} или n = 4k + r, где r = {0; 1; 2; 3}

Пусть n : m = k, где n, m, k – натуральные числа. Тогда m – делитель числа n, а n – кратно числу m. Число n называется простым, если его делителями являются только единица и само число n. Множество простых чисел:{2; 3; 5; 7; 11; 13;...; 41; 43; 47 и т.д.} Числа n и m называются взаимно простыми, если у них нет общих делителей, кроме единицы.

Стандартный вид: 317,3 = 3, ; 0, = 3, Форма записи:3173 =

Сложение Вычитание Умножение Деление Составная дробь Периодическая дробь Правило:

x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 y x x 1 – точка перегиба; x 2, x 4 – точки максимума; x 3 – точка минимума. Такие точки называются критическими. Условие для нахождения критических точек функции:

y x x1x1 x2x2 x3x3 ybyb a yaya x4x4 bcd Область определения: Множество значений: Корни функции: Критические точки Промежутки возрастания: Промежутки убывания:

y x x0x0 x1x1 x2x2 y0y0 M y = ax 2 + bx + c, D = b 2 – 4ac - дискриминант M(x 0,y 0 ) – вершина параболы Уравнение параболы, проходящей через точку M: y = a(x – x0)2 + y0 x1, x2 – корни параболы: ax2 + bx + c = 0 y x y=x 2 y=2x 2 y=0,5x 2 y x a>0 D=0 y x a>0 D>0 y x a>0 D

ax 2 + bx + c = 0 Дискриминант: D = b 2 – 4ac Если D < 0 то уравнение не имеет корней x D = 0 то уравнение имеет один кореньx1 D > 0 то уравнение имеет два корня x1; x2 Разложение на линейные множители: ax 2 + bx + c = a(x – x 1 )(x – x 2 ) Формула корней:

y = kx + b, k – угловой коэффициент, b – свободный член y xxAxA xBxB yAyA yByB B A k = tga y x y=2x y=2x+ 5 y=- 0,5x+5 y= x=-2 y x y=2x y=x y=0, 5x y= - x Пусть y1 = k1x + b1 и y2 = k2x + b2. Тогда:

ax + b = 0 (a 0) Если a = 0 и b 0 то уравнениене имеет решений x Если a = 0 иb = 0 то уравнениеимеет бесконечно много решений x R

Определение Логарифмом числа по b основанию a называется такое число, обозначаемое, что a - основание логарифма (a > 0, a 1), b - логарифмическое число ( b > 0) Десятичный логарифм: Натуральный логарифм: где e = 2,71828 Формулы

y = log a x y x a>1 1 a

abcd abcd ) 2)

Какие значения может принимать выражение: Пустьгде x (- ; ) z [4; ) y [2; ) y z y=log 2 z z x 1 z=x 2 - 2x+5

Формулы x 0 x - y x - y -x = x x y = x y x x x : y = x : y x + y x + y x 2 = x 2 Определение

Определения: Неравенством называется выражение вида: a b (a b) Основные свойства:

Функция Условие f(x) 0 f(x) > 0 f(x) 1 f(x) > 0 f(x) /2 + т -1 f(x) 1

Функция Производная 1 2 Sin xCos x 3 - Sin x 4 tg x 5 ctg x

f(x)F(x) 1 k Sin x 5 Cos x

y x a>1 1 a

Определение:Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если. Функция Первообразная

Сложная функция

y = f(x) y x y =b f(x) y x y = f(x) a y = f(x+a) y = f(x) y = f(x)+b y x b y x y = f(x) y = - f(x) y x y = f(x) y = f(ax) y x y = f(x)

Признак Пример На 2Числа, оканчивающиеся нулём или четной цифрой…….6 На 4 Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число, делящееся на 4. ……12 На 8 Числа, у которых три последние цифры нули или выражают число, делящееся на 8. …..104 На 3Числа, сумма цифр которых делится на На 9Числа, сумма цифр которых делится на На 5Числа, оканчивающиеся нулём или цифрой 5.…….5 На 25 Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число, делящееся на 25. ……75 На 10Числа, оканчивающиеся нулём. ……0

Арифметическая прогрессия Последовательность, у которой задан первый член a 1, а каждый следующий равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называется арифметической прогрессией: a n+1 = a n + d, где d – разность прогрессии. a n = a 1 + d(n – 1)a n = a k + d(n – k) 2a n = a n-1 + a n+1 a n + a m = a k + a l, если n + m = k + l Геометрическая прогрессия Определение: Последовательность, у которой задан первый член b 1 0, а каждый следующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q 0, называется геометрической прогрессией: b n+1 = b n q, где q – знаменатель прогрессии. b n = b 1 q n – 1 b n = b k q n – k b n 2 = b n-1 b n+1 b n b m = b k b l, если n + m = k + l

Определение: Процентом называется сотая часть от числа. 1%A = 0,01A Основные типы задач на проценты: Сколько процентов составляет число A от числа B? B-100% A-x% Сложные проценты. Число A увеличилось на 20%, а затем полученное число уменьшили на 25%. Как, в итоге, изменилось исходное число? 1)A 1 = (100% + 20%)A = 120%A = 1,2A 2)A 2 = (100% - 25%)A 1 =75%A 1 = 0,75A 1 = 0,75 1,2A = 0,9A = 90%A 3)A 1 – A = 90%A – 100%A = -10%A Ответ:уменьшилось на 10%. Изменение величины. Как изменится время, если скорость движения увеличится на 25%? Ответ:уменьшится на 20%

Исходное уравнение Равносильное уравнение (система)

Функция Область определения Множество значений y = ax + b x Ry R x 0y 0 y = x x Ry 0 y = x 2 x Ry 0 x 0y 0 y = a x x R y > 0 y = log a xx > 0 y R y = log x a x > 0, x 1y R

Среднее арифметическое: Среднее геометрическое:

y x y=x 2 y=x 4 y x y=x 3 y=x 5

Определение, если n – натуральное число a – основание степени, n - показатель степени Формулы

Приведенное квадратное уравнение: x2 + px + q = 0 x1 + x2 = - p x1 x2 = q

A B C a b c Теорема косинусов: Теорема синусов:

Определение тригонометрических функций Таблица значений Общий вид решения уравнений Основные тригонометрические формулы Свойства тригонометрических функций и универсальная подстановка Формулы половинного аргумента Формулы двойного аргумента Формулы произведения и суммы функций Формулы суммы аргументов Обратные тригонометрические функции Значение обратных тригонометрических функции Формула дополнительного угла

cos sin tg ctg

Функция Значения cosx10 sinx01 tgx01- ctgx-10

Уравнения с синусом Частные формулы: Общая формула: Уравнения с косинусом Косинус: Уравнения с тангенсом и котангенсом

Функция Свойства Область определения Множеств о значений Четность- нечетность Период cosxcos(-x)= cosx2p sinxsin(-x)= -sinx2p tgxtg(-x)= -tgxp ctgxctg(-x)= -ctgxp универсальная подстановка

Функция Свойства Область определения Множество значений arccosx [0; ] arcsinx [- /2; /2] arctgx (- /2; /2) arcctgx (0; )

Если 0 < x 1, то arccos(-x) = - arccosx arcsin(-x) = - arcsinx Если x > 0, то arctg(-x) = - arctgx arcctg(-x) = - arcctgx Функция Значения arccosx /2 /3 /4 /6 0 arcsinx0 /6 /4 /3 /2 Функция 01 arctgx0 /6 /4 /3 arcctgx /2 /3 /4 0

где

Пусть - уравнение движения материальной точки, где S – путь, t – время движения. Тогда: где – скорость, - ускорение.

Уравнение касательной к графику функциив точке имеет вид:где - угловой коэффициент касательной. Угол - угол наклона касательной к оси абсцисс. касательная Замечание: В уравнении прямой линии:, параметр - называется угловым коэффициентом, и две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны.

Квадрат суммы( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Квадрат разности(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 Разность квадратовa 2 – b 2 = (a + b)(a – b) Куб суммы(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Куб разности(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 Сумма кубовa 3 + b 3 = (a + b)( a 2 - ab + b 2 ) Разность кубовa 3 – b 3 = (a – b)( a 2 + ab + b 2 )

y x y x

y x y= x

y x y x y x a b

Определение: Функция y = f(x) называется четной, если: f(-x) = f(x) Функция y = f(x) называется нечетной, если: f(-x )= - f(x) Примеры: четные функций:y = x, y = x2, y = cosx нечетные функций:y = 1/x, y = x3, y = sinx, tgx, ctgx, arcsinx, arctgx Свойства: График четной функции симметричен относительно оси Oy. График нечетной функции симметричен относительно начала системы координат О.

Натуральные числаN = { 1; 2; 3; 4;..} Целые числа Z = N { 0; -1; -2; -3; …} Рациональные числа Q= Z Действительные числа R=Q