Электронный тематический сборник по математике и его роль в подготовке учащихся к государственной ( итоговой ) аттестации

«Уже в школе дети должны получить возможность раскрыть свои способности, подготовиться к жизни в высокотехнологичном конкурентном мире. Этой задаче должны соответствовать обновленные образовательные стандарты. Требования к результатам должны включать не только знания, но и умение их применять.» (Национальная образовательная инициатива «Наша новая школа»)

Модернизация школьного образования, реализуемая в настоящее время в рамках проектов « Разработка, апробация и внедрение федеральных государственных стандартов общего образования второго поколения » ( Стандарт ) и « Наша новая школа » на первое место выдвигает требования к результатам образования, которые должны быть значимы за пределами системы образования.

Цель российского школьного образования XXI века – создание условий для самореализации ученика в учебном процессе, формирование у школьника готовности быть субъектом продуктивной, самостоятельной деятельности на всех этапах своего жизненного пути.

Муниципальное общеобразовательное учреждение гимназия 11 Г. Железнодорожный Электронный тематический сборник по математике для подготовки к ГИА ученицы 8 а класса Сорокиной Марины Валентиновны учебный год

Содержание Алгебра Раздел 1. Алгебраические дроби Геометрия Раздел 1. Треугольники Раздел 2. Многоугольники

Введение Электронный тематический сборник по математике помогает школьникам анализировать свои знания по каждой теме и дает возможность систематизировать их для подготовки и успешной сдачи государственного экзамена. В сборник включены не только объяснения математических терминов, но и задачи с примерами решений, поэтому его можно также использовать для изучения и закрепления новой темы. Также в нём подробно описываются всевозможные варианты решения задач, с которыми мы можем встретиться при сдаче государственной (итоговой) аттестации (ГИА). Этот сборник должен помочь школьникам не только понять новую тему, но и закрепить её практически.

Раздел 1. Алгебраические дроби Определение. Алгебраической дробью называют выражение где P и Q – многочлены; P – числитель алгебраической дроби, Q – знаменатель алгебраической дроби. Многочлен можно считать частным случаем алгебраической дроби.,

Раздел 1. Сокращение алгебраических дробей. Вынесение общего множителя за скобки Задание 1 а. Сократите дробь: Решение: выносим общий множитель x в знаменателе за скобки: Сокращаем на общий множитель Ответ: Задание 1 б. Сократите дробь: Решение: выносим за скобки общий множитель a – в числителе, b – в знаменателе: Сокращаем противоположные множители Так как множители противоположные, значение дроби будет отрицательным. Ответ: и

Раздел 1. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями Задание 2 а. Сложите дроби с одинаковыми знаменателями: Задание 2 б. Выполните действие: Решение: при сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складывают, а знаменатель оставляют тот же: По примеру предыдущего задания выносим общий множитель 4 за скобки после сложения числителей двух дробей и сокращаем на общий множитель Ответ: Решение: при вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого, а знаменатель оставляют тот же: Ответ:

Раздел 1. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями Задание 3 а. Сложите алгебраические дроби : Задание 3 б. Преобразуйте данное выражение в дробь: Решение: находим наименьшее общее кратное знаменателей – Умножаем вторую дробь на Теперь мы привели дроби к общему знаменателю и можем выполнить сложение В числителе мы видим формулу сокращенного умножения – квадрат разности. Ответ: Решение: мы можем представить в виде дроби: Тогда мы находим НОК знаменателей – Приводим дроби к наименьшему общему знаменателю и выполняем сложение. Ответ:

Раздел 1. Умножение и деление алгебраических дробей Чтобы умножить две алгебраические дроби нужно перемножить числители и знаменатели дробей. Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, надо умножить первую на обратную второй. Задание 4 а. Выполните умножение: Задание 4 б. Представьте в виде дроби частное: Задание 4 в. Представьте в виде дроби: Решение: записываем дроби под общей дробной чертой и производим сокращение. Ответ: Решение: умножаем первую дробь на дробь, обратную второй и производим вычисления. Ответ: Решение: записываем дроби под общей чертой и производим сокращение. Ответ:

Раздел 1. Возведение алгебраической дроби в степень Задание 5 а. Представьте в виде дроби: Решение: Ответ: Решение: сначала возводим первую дробь в степень, Потом производим умножение дробей. Ответ: Чтобы возвести дробь в степень, нужно отдельно возвести в эту степень числитель, и отдельно знаменатель Задание 5 б. Упростите выражение:

Раздел 1. Степень с отрицательным целым показателем Если n – натуральное число, и,то под понимают Решение: пользуясь формулой, возводим дробь в степень Ответ: 9. Задание 6 а. Вычислите: Задание 6 в. Упростите выражение: Задание 6 б. Представьте в виде дроби: Решение: Ответ: Решение: возведем каждую дробь в степень и выполним умножение: Ответ:

Раздел 1. Первые представления о решении рациональных уравнений Задание 7. Решите уравнение: а) б) Решение: сначала перенесем разность из правой части в левую часть. Затем выполним вычисления в левой части. Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю. а) Ответ: -9 б) Ответ: -6.

Раздел 1. Допустимые для дроби значения Дробь равна нулю, если её числитель равен нулю. Дробь не имеет смысла, если её знаменатель равен нулю Задание 8. Определите, какая пара значений является недопустимой для дроби а) б) в) г) Ответ: А. Значит эта пара значений является недопустимой для дроби. Значит эта пара значений является допустимой для дроби. Значит эта пара значений является допустимой для дроби. Значит эта пара значений является допустимой для дроби.

Раздел 1. Равенство треугольников. Признаки равенства треугольников: Первый признак ( по двум сторонам и углу между ними) Второй признак (по двум углам и прилежащей к ним стороне) Третий признак (по трем сторонам) Если то Если то Если то

Раздел 1. Равенство треугольников Дано: АC, BD – отрезки Доказать: Доказательство: рассмотрим и (по усл.) (2 пр.)

Раздел 1. Свойства равнобедренного треугольника В равнобедренном В равнобедренном треугольнике треугольнике углы биссектриса, проведенная к при основании равны. основанию, является медианой и высотой AD – медиана, биссектриса и высота

Раздел 1. Свойства прямоугольного треугольника 1-ое свойство: Сумма 2-ух острых углов прямоугольного треугольника равна 2-ое свойство: Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в, равен половине гипотенузы 3-е свойство: Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен если

Раздел 1. Признаки и свойства треугольников Задание 2. Укажите номера неверных утверждений: 1) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. – Неверно, т.к. равенства двух сторон недостаточно для равенства двух треугольников. 2) В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является одновременно биссектрисой треугольника. – Верно (2-ое св. равнобедренного треугольника). 3) Каждая сторона треугольника больше суммы двух других сторон. – Неверно. 4) В прямоугольном треугольнике сумма углов равна 90 градусов. – Неверно, теорема «Сумма углов треугольника равна 180 градусам» справедлива для любых треугольников. Ответ: 1,3,4.

Раздел 1. Треугольники Задание 1. Один острый угол прямоугольного треугольника на 32 градуса больше другого. Найдите больший острый угол. Дано: Найти: Решение: пусть ( по усл.) (по 1-ому св.) x+x+32= 90 2x= 58 Ответ:

Раздел 2. Многоугольники Свойства многоугольников: 1)сумма углов выпуклого n-угольника равна 2)сумма углов выпуклого четырехугольника равна

Раздел 2. Четырехугольники. Параллелограмм ( противоположные стороны попарно параллельны) Трапеция (две стороны параллельны, две нет) Прямоугольник (все углы прямые) Ромб (все стороны равны) Квадрат (все стороны равны) Общие свойства: 1)в параллелограмме противоположные стороны и углы равны. 2)Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Свойство: 1)диагонали прямоугольника равны Свойство: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам Свойства 1)все углы квадрата прямые 2) диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам

Муниципальное общеобразовательное учреждение гимназия 11 г. Железнодорожный Электронный тематический сборник по математике для подготовки к ГИА ученика 8 а класса Бусырева Егора Константиновича учебный год

Алгебра Тема 1. Алгебраические дроби. Тема 2. Геометрия Введение стр стр. 3 стр Тема 1. Треугольники

Многие думают, что всегда успеют подготовиться к экзамену. Чтобы хорошо сдать государственную (итоговую) аттестацию (ГИА), необходимо начинать трудиться заранее: решать задачи по алгебре, геометрии, повторять теоремы и свойства. Зная типы задач, которые будут на экзаменах, вы будете более спокойнее и увереннее в своих решениях и ответах.

Алгебра. Тема 1. Алгебраические дроби Задача 1 Какая пара значений (a; b) из четырех, указанных ниже, является недопустимой для дроби А (1, 1/3)Б(3; -1)В(-3; 1)Г(1/3; 1) Решение: 2a – 3ab+b 3b-a Дробь не существует при b= 1/3 и a = 1 Ответ: А.

А. Решение: a – 2ab 2b - ab a(a – 2b) b(2b – a) abab Oтвет: Г. abab a – 2b 2b + a Б.Б.В.В. abab Сократите алгебраическую дробь abab Г.Г. a – 2ab 2b –ab Задача 2

Какое из написанных равенств является тождеством? X x +1 3x 4x + 4 X x +1 X x(x +1) X X +1 x(x – 1) (x +1) X X +1 xy xy A. Первое; Б. Второе; В. Третье; Г. Четвертое. Решение: X x +1 3x 4x + 4 Приведем дроби к общему знаменателю X x +1 x + 4x 4x + 4 3x 4x + 4 x + 4x 4x + 4 Неверно Задача 3

X x(x +1) X x +1 Приведем дроби к общему знаменателю X x +1 X x(x +1) X x(x +1) X x(x +1) Верно Ответ: Б.

Упростите выражение X x +у у x +у Задача 4 X x +у у x +у x - у x +у ( x – у)(x + у) x +у x - y А. 2(x – y)Б. x + yВ. x - y xу x +у Г.Г. Ответ: В. Решение:

Задача 5 Расположите числа a = 0,75, b = 3 4 с = 3 4 в порядке возрастания. А. a, b, c. Б. b, c, a. В. c, a, b. Г. a,c,b. Решение: Ответ: Г.

Выполните сложение дробей Задача 6 2 x 1 x 2 + x x Oтвет: 19x 70 у Задача 7 3x 14y 2x 35y 2 + x x Oтвет: 19x 70 у

Задача 8 2x 33b 7x 22b 25x 66b Oтвет: 25x 66b Задача 9 6x 25-x 1 x +5 6x (5-x)(5+x) 1 (x +5)(x – 5) 6x - 1 (5-x)(5+x) 6x x Oтвет: 6x x

Задача xy 3 8xy 20x + 9y 24xy Ответ: 20x + 9y 24xy

Задача 11 Сократите алгебраическую дробь: x – 4y x – 4xy + 4y x – 4y x – 4xy + 4y (x – 2y)(x + 2y) (x – 2y) x + 2y x – 2y Решение: Ответ: x + 2y x – 2y

Задача 12 Представьте в виде дроби: x – 16 x – 5x x + 4 x - 25 x – 16 x – 5x x + 4 x - 25 (x – 4)(x + 4)(x – 5)(x + 5) x( x – 5)x(x + 4) (x – 4)(x + 5) x Pешение: Oтвет: (x – 4)(x + 5) x

Задача 13 Выполните действия: 1 (x + 3) x - 9 x x (x + 3) x - 9 x x - 9 (x – 3)(x + 3) x(x + 3) x – 9 (x – 3)(x + 3) (x – 3) x(x + 3) x – 9 (x – 3)(x + 3) x (x – 6x +9 - x + 9) x(x – 3)(x + 3) x (18 – 6x) x(x – 3)(x + 3) 6x (3 – x) x(x – 3)(x + 3) 6 x + 3 Oтвет: 6 x + 3 Решение:

Задача 14 Упростите выражение: km n 3m n km n 3m n Решение: k m 3m k m 9 Oтвет: k m 9

Найдите корни уравнения: Задача 15 y y - 4 2y2y 1 y y - 4 2y2y 1 y – 2y +8 – y + 4y y(y – 4) 2(y +4) y(y – 4) 0 0 y + 4 = 0 y = -4 Oтвет: -4

Задача 16 Вычислите: ( -0,25) ( -0,25) = Ответ:-64

Геометрия Задача 1 Дано: ABCD – трапеция; B = 4 A Найти:B Решение: AB180(односторонние) Пусть A = x, тогда B = 4x Cоставим уравнение:

x +4 x = x = 180 X = * 4 = 144 Oтвет: 144 Задача 2 Дано: ABC С 90 BA + 32 Найти: B Решение: ABC180

AB90 Пусть A = x, тогда B = (x +32) Cоставим уравнение: x + x + 32 = 90 2x = 58 x = = 61 Oтвет: 61

Задача 3 а) Укажите номера неверных утверждений б) укажите номера верных утверждений. 1) Если стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 2) В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является одновременно биссектрисой и высотой. 3) Каждая сторона треугольника больше суммы двух других сторон. 4) В прямоугольном треугольнике сумма углов равна 90 градусам. а) 1, 3, 4. б) 2.

Задание 4 Дано: OBA и ODC AO = OC AC Доказать:OBAODC Доказательство: РассмотримOBAODCи: AC(по условию) AO = OC ( по условию) BOADOC(вертикальные) =>=> OBAODC (по второму признаку равенства треугольников)

Великое благо тому, кто научился учиться. Менандр