Лекция 2 Системы счисления

2.1 Системы счисления. «Золотые стихи пифагорийцев.» " Все есть число ", говорили ученики древнегреческого математика Пифагора.

Систе́ма счисле́ния это способ записи чисел по определённым правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами. Все системы счисления делятся на две большие группы : 1) позиционные ( мультипликативные ), 2) непозиционные ( аддитивные ).

Основание системы счисления – это число, на основе которого ведётся счет : 2,3,8,10,

Развернутая форма записи числа в позиционной системе счисления = 3*1+3*10+3*100+3*1000 = 3* * * *10 3 Пусть a - основание системы счисления ; x 0, x 1, x 2, …, x n – некоторый алфавит, то каноническая форма записи числа : x n x n-1 …x 1 x 0 = = x 0 *a 0 +x 1 *a 1 + …+ x n-1 *a n-1 + x n *a n

2.2. Непозиционные системы счисления Единичная система счисления У первобытных людей не было даже чисел, они количество предметов отображали равным количеством каких - либо значков. Такими значками могли быть зарубки, черточки, точки, а так же узелки на веревках.

На каком курсе учатся курсанты училища железнодорожных войск ?

Римская пятеричная I1 V5 X10 L50 C100 D500 M Непозиционные системы счисления.

Пример : Расшифруйте надпись. «PETRO primo CATHARINA secunda MDCCLXXXII»

В Санкт - Петербурге стоит памятник Петру I. На гранитном постаменте памятника есть римское число : MDCCLXXXII = * = 1782 год. Это год открытия памятника.

Славянская кириллическая десятеричная алфавитная Эта нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для перевода священных библейских книг для славян греческими монахами братьями Кириллом и Мефодием в IX веке Непозиционные системы счисления.

До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию.

Запись числа, использованная славянами аддитивная, то есть в ней используется только сложение :

Для того чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, что мы видим на рисунке. Для обозначения чисел больших, чем 900 использовались специальные значки, которые дорисовывались к букве. Так образовывались числа. Славянская нумерация просуществовала до конца XVII столетия, пока с реформами Петра I в Россию из Европы не пришла позиционная десятичная система счисления.

2.3. Позиционные системы счисления Древнекитайская десятеричная.

В древнекитайская десятеричной системе, числа записывались слева направо, от больших к меньшим. Если десятков, единиц, или какого - то другого разряда не было, то сначала ничего не ставили и переходили к следующему разряду.

История « арабских » чисел. Примерно во II веке до н. э. с астрономическими наблюдениями вавилонян познакомились греческие астрономы ( например, Клавдий Птолемей ). Они переняли их позиционную систему счисления, но целые числа они записывали не с помощью клиньев, а в своей алфавитной нумерации, а дроби в вавилонской шестидесятеричной системой счисления. Но для обозначения нулевого значения разряда греческие астрономы стали использовать символ "0" ( первая буква греческого слова Ouden - ничто ). Птолемей (Ptolemáios) Клавдий

. Блестящая работа индийских математиков была воспринята арабскими математиками и Аль-Хорезми в IX веке написал книгу "Индийское искусство счета", в которой описывает десятичную позиционную систему счисления.

. В XII в. Хуан из Севильи перевел на латынь книгу "Индийское искусство счета", и индийская система счета широко распространилась по всей Европе. А так как труд Аль-Хорезми был написан арабском языке, то за индийской нумерацией в Европе закрепилось неправильное название - "арабская". Но сами арабы именуют цифры индийскими, а арифметику, основанную на десятичной системе - индийским счетом.

2.4. « Машинные » системы счисления. 1. Двоичная 2. Восьмеричная 3. Шестнадцатеричная

Двоичная система счисления. Основание : 2, Алфавит : 0, 1 « Чтобы вывести из ничтожества всё, достаточно единицы » = 0* * * * * *2 5 = = = 38 = 38 10

Расшифруете : Еще в младших классах он проявлял себя весьма смышленым ребёнком. С задачами, которые сверстники решали полчаса, он справлялся за какие - то минут. Одарённый недюжинным умом и неиссякаемой энергией он закончил вуз за 11 лет, и в возрасте лет возглавил научно - исследовательскую лабораторию.

101 2 =1* * *2 2 = = 0* * *2 2 = = 1* *2 1 = = 0* * * * *2 4 =

Восьмеричная система счисления. Основание: 8, Алфавит: 0,1,2,3,4,5,6, = 3* * *8 2 = = =123 10

Какая система счисления была принята на Пандоре ?

Шестнадцатеричная система счисления. Основание 16. Алфавит : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15. A0F9 = A0F9 16 = 9* F* * A*16 3 = 9* * * *16 3 =

2.5. Преобразование чисел из одной системы счисления в другую. Правила перевода целых чисел Из десятичной системы счисления - в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную ( общий алгоритм ): 1. Последовательно выполнять деление исходного целого десятичного числа и получаемых целых частных на основание системы (2, 8 или 16) до тех пор, пока не получим частное, меньшее, чем основание системы счисления. 2. Получить искомое двоичное, восьмеричное или шестнадцатеричное число, для чего записать полученные остатки в обратной последовательности. (… И последние будут первыми …)

Проверка : = = Пример 1. Выполнить перевод числа в двоичную систему счисления:

Пример 2. Перевести в восьмеричную систему исчисления : Проверка : = = =259

Пример 3. Выполнить перевод числа 19 в шестнадцатеричную систему счисления: Проверка: = = 3+16=19

Перевод чисел из двоичной системы в восьмеричную, шестнадцатеричную и обратно проще проводить с помощью программы Калькулятор ( инженерный ). При работе с целыми числами программа Калькулятор позволяет использовать не только стандартную десятичную, но и « компьютерные » системы счисления : двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную. Выбор системы счисления производится при помощи установки переключателя (Hex шестнадцатеричная, Dec десятичная, Oct - восьмеричная, Bin двоичная система счисления ). При изменении системы счисления число на индикаторе преобразуется автоматически.

Перевод десятичных дробей в двоичную систему счисления : ( Алгоритм перевода дробных десятичных чисел в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления ) Последовательно выполнять умножение исходной десятичной дроби и получаемых дробей на основание системы счисления до тех пор, не получим нулевую дробную часть ( или не будет достигнута требуемая точность вычислений ). Получить искомую двоичную, восьмеричную или шестнадцатеричную дробь, записав полученные целые части произведения в прямой последовательности. Правила перевода дробей.

0, = ? 2

Перевод дробей в десятичную систему счисления :