Решение задания С2 «Расстояние между прямыми» Вариант 9(2014) Работу выполнил ученик 11 «Б» Позняк Владислав ГБОУ СОШ 145 г.Санкт-Петербург Учитель Эмануэль Н.Ю.

Условие A B C B1B1 A1A1 C1C1 2 M L Дана правильная треугольная призма ABCA 1 B 1 C 1, все ребра основания которой равны 2. Сечение, проходящее через боковое ребро AA 1 и середину M ребра B 1 C 1 является квадратом. Найдите расстояние между прямыми A 1 B и АМ.

Решение A B C B1B1 A1A1 C1C1 2 M L O P Пусть данное сечение призмы – квадрат АА 1 МL. Тогда диагонали перпендикулярны: АМ А 1 L, а по теореме о трех перпендикулярах (если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной) АМ ВС. Следовательно, АМ А 1 ВС. Отсюда следует, что искомым расстоянием между прямыми А 1 В и АМ является длина перпендикуляра ОР, опущенного из точки О пересечения диагоналей квадрата AА 1 ML на прямую А 1 В, так как OP А 1 B и ОР АМ.

2 C1C1 Сторона квадрата AA1ML равна высоте треугольника ABC, то есть AL=3, а его диагональ A 1 L=6. В равнобедренном треугольнике A 1 BC основание BC=2, боковая сторона A 1 B=7. Отсюда, используя подобие треугольников (треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сход твенным сторонам другого треугольника) A 1 OP и A 1 BLтреугольникиуглыстороны найдем Ответ: A B C B1B1 A1A1 M L O P A В С L

Вычисления,которые были сделаны, но не отражены в работе По теореме Пифагора: AL=AB 2 – AL 2 AL = =3 Диагональ квадрата равна произведению его стороны на, то есть. A 1 L=AL2 A 1 L=32=6 По теореме Пифагора: A 1 B=A 1 L 2 + BL A 1 B= =7 2 C1C1 A B C B1B1 A1A1 M L O P