КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СООРУЖЕНИЙ С ТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА. Ч асть I

К и н е м а т и ч е с к и й а н а л и з – это исследование расчётной схемы сооружения (системы), выполняемое до начала расчёта с целью определения кинематического качества системы (геометрической неизменяемости, мгновенной изменяемости или геометрической изменяемости), а в случае геометрической неизменяемости системы – также для выявления ее статической определимости или неопределимости.

Основные понятия кинематического анализа Д и с к – часть системы (один или несколько соединённых друг с другом элементов), форма и размеры которой могут изменяться только вследствие деформации материала. С в я з и (механические) – ограничения на перемещения (линейные и/или угловые) точек или сечений элементов системы, а также устройства, технически реализующие эти ограничения. С т е п е н и с в о б о д ы – независимые геометрические параметры, полностью определяющие положение всех точек диска или системы в целом при их возможных перемещениях.

Д и с к и – а, б, в, г, д – диски из одного элемента (а, б, в – стержни с прямолинейной, криволинейной и ломанной в плоскости или в пространстве осью; г – диск-пластинка; д – диск-оболочка); – е, ж, з, и, к – диски из нескольких элементов (е, ж, з – из однотипных элементов – стержней, плоские (е, ж) и пространственный (з); и, к – комбинированные пластинчато- и оболочечно-стержневые, пространственные).

Классификация связей – по области расположения дискретные (в отдельных точках или сечениях) континуальные (распределённые по объему, поверхности или линии) – по соединяемым дискам внутренние внешние – по числу ограничиваемых перемещений простые (линейные и угловые) сложные – по физическим свойствам жёсткие (недеформируемые) податливые (деформируемые) – по кинематическому признаку необходимые избыточные (лишние и ложные)

Типы связей плоских систем

Типы связей плоских систем (окончание)

Степени свободы

Системы геометрически неизменяемые, изменяемые и мгновенно изменяемые Геометрически неизменяемая система (ГНС) – это система, перемещения в которой могут возникать только вследствие деформации её элементов. Геометрически изменяемой называется система (ГИС), в которой возможны конечные перемещения без деформации элементов. Мгновенно изменяемой называется система (МИС), в которой могут возникать бесконечно малые перемещения без деформации её элементов.

Алгоритм кинематического анализа

Этапы кинематического анализа 1) количественный анализ; 2) качественный (структурный) анализ. К о л и ч е с т в е н н ы й а н а л и з – это исследование расчётной схемы сооружения, заключающееся в оценке баланса (соотношения) суммарного числа n степеней свободы дисков системы до наложения на них внешних и внутренних связей (т.е. несвязанных дисков) и суммарного числа n c внешних и внутренних связей системы, в пересчёте на связи первого типа. Необходимое условие геометрической неизменяемости системы: ( W = n – n c )

К о л и ч е с т в е н н ы й а н а л и з ( W = n – n c ) Необходимое условие геометрической неизменяемости системы: Для плоской системы: n = 3D; n c = n внут. св. + n внеш. св. = 3П + 2H + C + C 0 D – количество дисков; П – число простых припаек Н – число простых шарниров С – количество внутренних связей первого типа ( линейных и угловых ); С 0 – число внешних ( опорных ) связей – в пересчёте на связи первого типа. между дисками системы, без учёта диска «земля»; n внут. св. n внеш. св. Простая припайка – жёсткое соединение двух дисков. Простой шарнир ( цилиндрический или поступательный ) – шарнирное соединение двух дисков. Сложная ( кратная ) припайка Сложный ( кратный ) шарнир Соответствующее ( жёсткое или шарнирное ) соединение более чем двух дисков Учитываются эквивалентным числом простых припаек ( шарниров ): П = n D – 1 H = n D – 1 n D – число соединяемых дисков в узле W = 3D – ( 3П + 2H + C + C 0 )

Качественный (структурный) анализ – это исследование структуры расчётной схемы сооружения, заключающееся в проверке правильности расположения связей, выявлении возможных дефектов соединения дисков и завершающееся определением кинематического качества (природы) системы (её геометрической неизменяемости, изменяемости или мгновенной изменяемости).

Классификация связей по кинематическому признаку Н е о б х о д и м ы е с в я з и – это связи, удаление которых вызывает изменение кинематической природы системы (геометрически неизменяемая система превращается в геометрически изменяемую или мгновенно изменяемую, мгновенно изменяемая система становится геометрически изменяемой). Л и ш н и м и называются связи, при удалении которых кинематическая природа системы не изменяется, но эти связи ограничивают перемещения в деформируемой системе. Л о ж н ы е с в я з и – такие, которые не оказывают никакого влияния ни на кинематическую природу системы, ни на перемещения в ней, определяемые с учетом деформации элементов. Вид связи (наименование) Кинематический признак связи Категория по кинематическому признаку Необходимая связь Лишняя связь Ложная связь Кинематические связи Некинематическая связь Избыточные связи S – возможное перемещение в системе с удалённой связью по направлению этой связи (без учёта деформаций); – то же, с учётом деформаций элементов системы.

Типовые способы геометрически неизменяемого соединения дисков плоских систем

Дополнительные сведения, вытекающие из структурного анализа Практическая рекомендация п о последовательности расчёта статически определимой составной системы: для определения реакций связей рассматривается равновесие частей, начиная с самой второстепенной и заканчивая главной (то есть в порядке, обратном последовательности синтеза). Если в процессе синтеза системы на нескольких шагах (более одного) последовательно образуются геометрически неизменяемые системы, то рассматриваемая система может квалифицироваться как составная, с выделением в ней главных и второстепенных частей. Главной называется геометрически неизменяемая часть составной системы, способная воспринимать любые воздействия даже при отсутствии всех других частей. Второстепенная часть составной системы – это часть, утрачивающая работоспособность вследствие возникновения её геометрической или мгновенной изменяемости при удалении других частей (всех или некоторых). Второстепенные части могут образовывать иерархию по признаку большей-меньшей второстепенности. Самой второстепенной частью является та, которая неработоспособна при отсутствии любой другой части системы. Замечание : понятия составной системы, главной и второстепенной частей, а также соображения о последовательности расчёта не относятся непосредственно к кинематическому анализу ; принципиально важными они являются для статически определимых систем.

Пример выполнения кинематического анализа плоской стержневой системы A B d e c f h k p Основные вопросы кинематического анализа: 1)является ли система геометрически неизменяемой? 2) если да, то статически определима она или статически неопределима? g

Этап 1. Количественный анализ – D1D1 D5D5 D3D3 D4D4 D2D2 D7D7 D6D6 A B c e d g f k h W = 3D – (3П+2Н+С+С 0 ) D = 7 ( диски D 5 и D 6 – стержни с ломаными осями) П = 1 (между дисками D 3 и D 4 в узле f ) Н = 6 (простые – в узлах e, g, c, f, кратный – в узле h ) С = 2 ( стержни ed и kp ) С 0 = 4 (шарнирные неподвижные опоры А и В ) p Связь 1-го типа Связь 1-го типа W = 3 * 7 – (3 * 1+2 * 6+2+4) = 21 – 21 = 0 – необходимое условие геометрической неизменяемости выполняется. В ы в о д: система может быть геометрически неизменяемой. проверка выполнения необходимого, но недостаточного условия геометрической неизменяемости системы

Этап 2. Качественный (структурный) анализ – проверка правильности расположения связей D1D1 D2D2 g d e DIDI Шаг 1: соединение двух дисков (D 1 и D 2 ) по способу 2 б – с помощью шарнира g и линейной связи ed, ось которой не проходит через центр шарнира. Результат – диск D I : D I = D 1 + D 2 (по способу 2 б). Вариант: соединение трёх дисков (D 1,D 2 и диск ed) по способу 3 б – с помощью трёх цилиндрических шарниров в точках e, d и g, не лежащих на одной прямой. Результат – диск D I : D I = D 1 + D 2 + ed (по способу 3 б).

Этап 2. Качественный (структурный) анализ – проверка правильности расположения связей D1D1 D2D2 g d e DIDI Шаг 2: соединение трёх дисков ( D I, cfB и диск « Земля » ) по способу 3 б – с помощью трёх цилиндрических шарниров в точках A, c и B, не лежащих на одной прямой. Результат – диск D II : D II = D I + cfB + « Земля » (по способу 3 б). Примечание: поскольку в диск D II входит диск «Земля», то D II является геометрически неизменяемой системой: c A D II f B З е м л я

Этап 2. Качественный (структурный) анализ – проверка правильности расположения связей D1D1 D2D2 g d e DIDI Шаг 3: соединение трёх дисков ( D II, D 5 и D 6 ) по способу 3 б – с помощью трёх цилиндрических шарниров в точках e, h и f, не лежащих на одной прямой. Результат – диск D III : D III = D II + D 5 + D 6 (по способу 3 б). Примечание: поскольку в диск D III входит диск «Земля», то D III является геометрически неизменяемой системой: c f A B З е м л я D II D III D5D5 h D6D6

Этап 2. Качественный (структурный) анализ – проверка правильности расположения связей D1D1 D2D2 g d e DIDI Шаг 4: соединение двух дисков ( D III и D 7 ) по способу 2 б – с помощью цилиндрического шарнира в точке h и линейной связи ed, ось которой не проходит через центр шарнира. Результат – диск D IV : D IV = D III + D 7 (по способу 2 б). Примечание: поскольку в диск D IV входит диск «Земля», то D IV является геометрически неизменяемой системой: c f A B З е м л я D II D5D5 D6D6 k D IV Варианты: а) соединение трёх дисков (D III,hk и kp) по способу 3 б – с помощью трёх цилиндрических шарниров h, k и p, не лежащих на одной прямой; б) присоединение точки k к диску D III по способу 1 – с помощью двух связей 1-го типа (hk и kp). D III h p D7D7

Р е з ю м е : A B d e c f h k p В ы в о д : система геометрически неизменяемая и статически определимая. а) в системе имеется достаточное число связей, избыточных связей нет (W = 0); б) структура системы правильная – отсутствуют дефекты расположения связей. g

Дополнительные сведения, вытекающие из структурного анализа A B d e c f h k p Практическая рекомендация по последовательности расчёта: для определения реакций связей рассматривается равновесие частей системы, начиная с самой второстепенной и заканчивая главной: ВЧ2 ВЧ1 ГЧ (то есть в порядке, обратном последовательности синтеза). Главная часть (ГЧ) ВЧ1 ВЧ2 Второстепенные части g Поскольку в процессе синтеза системы на нескольких шагах (более одного) последовательно образуются геометрически неизменяемые системы (ГНС 1, ГНС 2, ГНС), то рассматриваемая система может квалифицироваться как составная, с выделением в ней главной и второстепенных частей:

Системы, для которых качественный (структурный) анализ расчётной схемы может быть полностью выполнен с использованием только типовых способов (приёмов) геометрически неизменяемого соединения дисков, называются системами с простой структурой. Системы, для которых качественный (структурный) анализ расчётной схемы не может быть полностью выполнен с использованием только типовых способов (приёмов) геометрически неизменяемого соединения дисков, называются системами со сложной структурой. В качественном анализе систем со сложной структурой применяются: – исследование кинематической природы связей ( всех или части ) по критерию ; – проверка по аналитическому признаку геометрической неизменяемости ; – способ замены связей.

Пример кинематического анализа системы со сложной структурой Этап 1. Количественный анализ D1D1 D5D5 D4D4 D2D2 D3D3 Связь D = 5; П = 0; H = 3; C = 2; C 0 = 7 W = 3 * D – ( 3 * П + 2 * H + C + C 0 ) = = 3 * 5 – ( 3 * * ) = 0 – необходимое условие геометрической неизменяемости выполняется; система может быть геометрически неизменяемой

Пример кинематического анализа системы со сложной структурой Этап 2. Качественный (структурный) анализ АВ Выполнить синтез системы с помощью типовых способов геометрически неизменяемого соединения дисков не удаётся, поэтому исследуется кинематическая природа связей системы: удаляется стержень АВ, который может рассматриваться как линейная связь 1-го типа Направление удалённой связи В результате удаления связи система превращается в механизм, которому задаётся возможное перемещение А В

Пример кинематического анализа системы со сложной структурой А В Определяется перемещение S по направлению удалённой связи – в данном случае проекция взаимного (относительного) линейного перемещения точек А и В по направлению оси удалённой линейной связи Этап 2. Качественный (структурный) анализ Направление удаленной связи S,l S,r S = S,l + S,r = 0 Вывод: удалённая связь – необходимая, следовательно, структура системы правильная, система геометрически неизменяемая. Можно использовать план перемещений узлов: С К 0 ВА С, KС, K S,l S,r S

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы ( в скобках даны номера слайдов, на которых можно найти ответы на вопросы; для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках *) ; для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши и выбрать «Перейти к слайду 29» ) 1. Что такое кинематический анализ? Его назначение? ( 2 )( 2 ) 2. Назовите основные понятия кинематического анализа. ( 3 )( 3 ) 3. Дайте определение диска. ( 3 ) Что может быть диском? ( 4 )( 3 )( 4 ) 4. Что такое диск «земля» и какими свойствами он наделяется? ( см. [1] ) 5. Дайте определение связи. ( 3 ) По каким признакам и как классифицируются связи? ( 5 )( 3 )( 5 ) 6. Перечислите типы связей плоских систем и для каждого из них дайте кинематическую и статическую характеристики. ( 6 )( 6 ) 7. Каким комбинациям простых связей кинематически эквивалентны сложные связи разных типов? ( см. [1] ) 8. Дайте разные варианты изображения связей плоских систем. ( 6 )( 6 ) 9. Какова роль гипотезы отвердения материала в кинематическом анализе? ( см. [1] ) 10. Что такое степени свободы ( 3 ) и какие величины могут выступать в качестве( 3 ) степеней свободы? ( 8 )( 8 ) 11. Сколько степеней свободы имеет жёсткий диск в пространстве и в плоскости? А точка? ( 8 )( 8 ) 12. Ответы на какие главные вопросы даются в ходе кинематического анализа? ( 17 )( 17 ) 13. Какие системы называются геометрически неизменяемыми? Геометрически изменяемыми? Мгновенно изменяемыми? ( 9 )( 9 ) 14. Назовите этапы кинематического анализа. ( 11 )( 11 ) 15. Дайте определение количественного анализа. ( 11 )( 11 ) 16. Что означают символы n и n c ( 11 ) и как вычисляются обозначаемые ими( 11 ) величины? ( 12 )( 12 ) 17. Какие припайки (шарниры) называются сложными ( кратными )? Как определяется число эквивалентных им простых припаек ( шарниров )? ( 12 )( 12 ) _______________________________________________ *) Только в режиме «Показ слайдов » [1] Себешев В.Г. Кинематический анализ сооружений : Учеб. пособие / Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), – 58 с.

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы ( в скобках даны номера слайдов, на которых можно найти ответы на вопросы; для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках *) ; для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши и выбрать «Перейти к слайду 30» ) 18. Какой вид имеет необходимое условие геометрической неизменяемости системы? ( 11 )( 11 ) 19. Почему оно является недостаточным? ( см. [1] ) 20. Что такое W ? Как вычисляется эта характеристика? ( 12 )( 12 ) 21. Какой вывод делается по результатам кинематического анализа, если получается W > 0 ? ( см. [1] ) А если необходимое условие неизменяемости выполняется? ( 18 )( 18 ) 22. Что такое качественный ( структурный ) анализ? ( 13 )( 13 ) 23. Как классифицируются простые связи по кинематическому признаку? ( 14 )( 14 ) 24. Дайте определения необходимой, лишней и ложной связей. ( 14 )( 14 ) 25. Какие геометрические параметры используются в описании кинематических признаков разных связей? ( 14 )( 14 ) 26. Что общего у необходимых и лишних связей? У лишних и ложных связей? В чём различия между ними? ( 14 ) Что нужно делать с обнаруженными ложными( 14 ) связями? ( см. [1] ) 27. Как выявляются лишние связи? ( см. [1] ) 28. Перечислите типовые способы геометрически неизменяемого соединения дисков, объясните смысл каждого из них с указанием требований к расположению связей. ( 15 )( 15 ) 29. Какова последовательность действий при выполнении структурного анализа с применением типовых способов соединения дисков? ( см. [1] ) 31. Какие выводы делаются по результатам структурного анализа системы? ( 23 )( 23 ) 32. Что такое система с простой структурой? ( 25 )( 25 ) 33. Что такое система со сложной структурой? Каковы возможные пути выполнения структурного анализа таких систем? ( 25 )( 25 ) 34. Какие части составной системы называются главными, а какие – второстепенными? ( 16 )( 16 ) ____________________________________________________________ *) Только в режиме «Показ слайдов» [1] Себешев В.Г. Кинематический анализ сооружений : Учеб. пособие / Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), – 58 с.