Проектирование и технология электронной компонентной базы Лектор: доц. каф. ТП и МЭТ Ситанов Д.В.

Литература: 1. С. Датта. Квантовый транспорт от атома к транзистору. –М., –Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, с. 2. Д.И. Рыжонков, В.В. Лёвина, Э.Л. Дзидзигури. Нанометериалы: учебное пособие. –М.: БИНОМ, Лаборатория знаний, с. 3. А.И. Гусев. Наноматериалы, наноструктуры, нанотехнологии. –М.: ФИЗМАТЛИТ, с. 4. Н.Г. Рамбиди. Нанотехнологии и молекулярные компьютеры. –М.: ФИЗМАТЛИТ, с. 5. А.С. Давыдов. Квантовая механика. М.: ФИЗМАТЛИТ, – 748 с страница проф. С. Датта (Supriyo Datta) портал НОР (Нанотехнологического общества России). 8. и т.д.

Хотелось бы вспомнить Р. Феймана … 29 декабря 1959 г. Нобелевский лауреат Р.Фейнман прочел в Калифорнийском университете свою знаменитую рождественскую лекцию «Там, внизу, много места». Два подхода к созданию наноматериалов: «снизу-вверх» и «сверху-вниз». При изучении электрического сопротивления малых объектов подход «от малого к большому» отличается от стандартного подхода «от большого к малому»

Для макроскопических объектов вполне справедливо: закон Ома Типичная структура, с которой мы будем работать - это простой вариант нано транзистора, для которого максимальный кондактанс является фундаментальной постоянной:

Диаграмма энергетических уровней Начнем с простого: Попытаемся понять, почему сила тока I начинает возрастать в тот момент, когда напряжение на затворе транзистора превысит V T

Диаграмма энергетических уровней Разрешенные уровни энергии, которые могут быть заняты электронами в активной части прибора Положительное напряжение на затворе V G смещает энергетические уровни вниз, в то время как значение электрохимического потенциала µ зафиксировано контактами истока и стока, находящимися в равновесии друг с другом (V D = 0).

Равновесная функция Ферми: Функция Ферми, среднее число электронов, заполняющих состояние с энергий E в равновесии с электрохимическим потенциалом электродов µ

Проводимость n-типа:

Проводимость р-типа:

Причина возникновения электрического тока Пусть V D положительно, тогда: Положительное напряжение V D, приложенное к стоку, понижает его электрохимический потенциал. Контакты истока и стока стремятся установить разные распределения Ферми в канале, и при этом он остается в промежуточном (неравновесном) состоянии.

Уравнения баланса для одноуровневой модели Рассмотрим простую одноуровневую систему, смещенную таким образом, что её уровень энергии ε находится между электрохимическими потенциалами двух контактов. Равновесию с контактом 1 соответствует функция f 1 (ε), а контакту 2 – f 2 (ε), где f 1 и f 2 - функции Ферми истока и стока, определяемые уравнениями : Входящие и выходящие токи электронов на границах между одноуровневым каналом и истоком и стоком: простая иллюстрация баланса

Ток истока: Ток стока: N – количество электронов канала, q – заряд электрона, константы и определяют скорости ухода электрона, первоначально заполнявшего уровень ε на контакты истока и стока. Эти величины имеют размерность обратного времени (частоты), так что γ 1 и γ 2 имеют размерность энергии.

Ток в одноуровневой модели В стационарном состоянии результирующий поток, направленный внутрь канала или из него, равен нулю : 1. Ток не возникает, если. Итак: 2. На уровне, лежащем гораздо ниже обоих электрохимических потенциалов µ 1 и µ 2, имеет место равенство, поэтому этот уровень не дает вклада в электрический ток. 3. Точно так же не вносит вклад в ток уровень, который лежит гораздо выше обоих потенциалов µ 1 и µ 2 и имеет место равенство:. 4. Электрический ток возникает только в том случае, когда уровень находится в пределах нескольких k B T в окрестности µ 1 и µ 2, мы имеем при этом:.

Входящий и исходящий потоки Это разность между входящим и выходящим токами из истока и стока соответственно. Выходящие токи обосновать легко, поскольку [Дж/Дж. с] определяет скорость, с которой электрон, изначально занимавший уровень ε, вылетает в контакт истока (он всего один). Сложнее обосновать выражение для входящего тока поскольку в контактах имеется множество электронов в различных состояниях, каждый из которых стремится заполнить одно состояние внутри канала. смотри термодинамические аргументы

Термодинамические аргументы а) Если бы канал находился в равновесии с истоком, то результирующий поток был бы равен нулю, т.е. входящий ток был бы равен выходящему току. Но в состоянии равновесия последний равен, так как среднее число электронов N равно f 1. б) В отсутствии равновесия N отличается от f 1, но входящий ток остается неизменным, поскольку он зависит только от условий внутри контактов, которые также остаются неизменными (следует обратить внимание на то, что выходящий ток изменяется, образуя полный ток).

Еще раз о кванте кондактанса … Запишем выражение силы тока для этого устройства: Пусть: Тогда: если: ?!

К вопросу эффекта уширения уровня Эффект уширения уровня сопровождает любое взаимодействие с ним. Учет уширения должен привести к выходу части уровней за пределы интервала энергии, границами которого являются µ 1 и µ 2 в котором происходит протекание тока. В результате сила тока уменьшается на коэффициент: Здесь- эффективная ширина уровня, а С – численная константа Учтем эффект уширение уровня: Итак, кондактанс действительно достигает постоянной величины, независимой от силы взаимодействия канала с контактами

К вопросу эффекта уширения уровня Условное обозначение плотности состояний Dε до (а) и после (б) установления взаимодействия между электродами и каналом (черный цвет– высокая плотность состояний) Известно т.н. «правило сумм», требующее сохранения полного числа состояний. Поэтому проинтегрированный по всем энергиям уровень по-прежнему соответствует только одному электрону. Размытая плотность состояний обычно изображается центрированной при Е = ε лоренцевской функцией, интеграл от которой по всем энергиям равен единице:

К вопросу эффекта уширения уровня Исходную дельтаобразную плотность состояний можно представить как предел выражения D ε (E), при стремлении ширины уровня к нулю, причем ширина уровня γ, пропорциональна интенсивности связи. Итак: взаимодействие с контактами ведет к уширению одного дискретного энергетического уровня, что и приводит к непрерывной плотности состояний, задаваемой уравнением:

К вопросу эффекта уширения уровня Проинтегрируем выражение для силы тока по распределенным состояниям: (Лоренцева функция * ) учтем, что в Максимальная величина тока получается, если энергетический уровень ε совпадает с µ, равным среднему значению между µ 1 и µ 2. Учитывая, что, можно записать максимальный кондактанс как: если

Профиль распределения потенциала В физике известно явление проводимости при малом напряжении, которое определяется исключительно свойствами энергетических уровней в окрестности равновесного электрохимического потенциала µ. Это т.н. « линейный отклик ». Рассмотрим одноуровневый канал с равновесным электрохимическим потенциалом µ, расположенным чуть выше энергетического уровня ε : В зависимости от того, какое влияние на энергетический уровень ε оказывает приложенное напряжение, могут реализоваться различные варианты Таких вариантов два

1 вариант: Положение энергетических уровней (а) при прямом смещении (V > 0) и (б) при обратном смещении (V < 0), при условии, что потенциал канала лежит ровно посередине между его значениями в истоке и стоке. При любой полярности смещения (V > 0 или V < 0) энергетический уровень лежит посередине между µ 1 и µ 2, что приводит к равным величинам силы тока для +V и V.

2 вариант: ε остается неподвижным относительно электрохимического потенциала истока. Положение энергетических уровней (а) при положительном напряжении (V>0) и (б) при отрицательном напряжении (V

Рассмотрим самые общие подходы к расчету потенциала внутри канала. Если бы канал был непроводящим, проблема свелась бы к решению уравнения Лапласа с граничными условиями V = 0 (электрод истока), V= V G (электрод затвора) и V=V D (электрод стока): ε r - относительная диэлектрическая проницаемость, которая может быть пространственно зависимой. Оператор Лапласа - обозначается символом Δ. Функции F он ставит в соответствие функцию в частных производных: NB) Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции.

NB) Например, для случая трёхмерного пространства, градиентом называется вектор: Градиент обычно обозначается оператора набла - Из определения градиента следует, что: Дивергенция - дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное. NB) Оператор дивергенции, применённый к полю F, обозначают как или В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом: то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя. NB) Теперь собственно уравнение Лапласа: - функция независимых переменных x 1, x 2, …, x n.

Рассмотрим канал как точечный объект, пренебрегая любыми пространственными изменениями потенциала внутри него. Для этого составим схему замещения, содержащую емкости: Емкостная эквивалентная схема для расчета «лапласовского» потенциала активной области U L, возникающего в ответ на внешние напряжения затвора и стока V G и V D. Символ С E обозначает полную электростатическую емкость. Действительный потенциал U может отличаться от U L, если в окрестности энергий µ 1 и µ 2 существует заметная плотность электронных состояний.

Из смежных курсов Вы узнали, что наиболее общей характеристикой любого взаимодействия является потенциальная энергия. Потенциальная энергия в канале получается умножением электростатического потенциала V на электронный заряд (-q): Потенциальная энергия (U L ) получена из уравнения Лапласа, т. е. в пренебрежении любым изменением электронного заряда. Такое предположение обоснованно при очень небольшом количестве электронных состояний в окрестности энергий µ 1 и µ 2. Если в канале происходит изменение электронной плотности Δρ, то нам необходимо решать уравнение Пуассона для потенциала: здесь: ε r - относительная диэлектрическая проницаемость, которая может быть пространственно зависимой; ε 0 - диэлектрическая проницаемость вакуума (в фарадах на метр). Из уравнения Пуассона мы получим электростатический потенциал для данного распределения (изменения) Δ ρ электронной плотности.

NB) Уравнение Пуассона - эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое, среди прочего, описывает - электростатическое поле, - стационарное поле температуры, - поле давления, - поле потенциала скорости в гидродинамике. Это уравнение имеет вид: Δ оператор Лапласа, f - вещественная или комплексная функция. В декартовой системе координат оператор Лапласа записывается в форме: и уравнение Пуассона принимает вид: Если f стремится к нулю, то уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа (уравнение Лапласа - частный случай уравнения Пуассона).

Применительно к нашей ёмкостной эквивалентной схеме запишем изменение заряда как сумму зарядов трех конденсаторов: Потенциальная энергия определяется суммой лапласовского потенциала и дополнительного слагаемого, пропорционального изменению числа электронов: заметим что: Константа определяет изменения потенциальной энергии вследствие появления одного дополнительного электрона. Она называется одноэлектронной энергией электростатического отталкивания.

Самосогласованное решение. Итерационный метод. Выражения, учитывающие сдвиг кривой плотности состояний вдоль оси энергии в следствии влияния потенциала U для - силы тока: для силы тока I с учетом размытой плотности состояний (т.е. с учетом уширения уровня) ранее было записано: теперь с учетом влияния потенциала U :

Самосогласованное решение. Итерационный метод. Выражения, учитывающие сдвиг кривой плотности состояний вдоль оси энергии в следствии влияния потенциала U для - числа электронов: А) первоначально записывали для N : Б) далее с учетом размытой плотности состояний (с учетом уширения уровня): В) и с учетом влияния потенциала U на сдвиг электронной плотности:

Самосогласованное решение. Итерационный метод. I. По числу электронов ( N ) считаем U : II. Обратный расчет N по только что полученному значения U : Критерием расчета является сходимость величины U III. По полученной величине U рассчитываем величину силы тока ( I ): (1) (2)

Схема расчета: Оценка U Сравнени е расхожде -ния U c (k B T) если все пока ещё плохо, то если уже все хорошо, то Расчет окончен, можно строить ВАХ

Для этого составляют сетку по энергии E и лучше всего с одинаковым приростом, т.е. dE = const и dE~0,004 эВ, например. Рекомендую все величины брать в единицах Си, а энергию в эВ. В отчете необходимо привести а) сетку по энергии (обычно люди считают на количество узлов не менее 500, а то резкого спада зависимости плотности состояний можно и не получить). б) энергетическую зависимость лоренцевой плотности состояний (таблица и зависимость): Пояснения к последовательности расчета и сдачи промежуточных результатов. 1. Ввод необходимых констант (согласно условия задачи). 2. К вопросу расчета лоренцевой плотности состояний D ε (E): В общем случае мы записывали:, но и говорили, что она приводится центрированной при E = ε, т.е. правомочно в расчетах использовать формулу типа:

Пояснения к последовательности расчета и сдачи промежуточных результатов. Далее необходимо посчитать Лапласовский потенциал и все остальное в зависимости от общего распределения потенциала в канале, а он (потенциал в канале) будет определяться соотношениями потенциалов затвора (V g ) и стока (V d ). Для этого следует составить сетку напряжений, для которой и будем производить расчет. Понятно, что начало сетки должно идти от нуля, а конец ее должен быть задан из разумных соображений, предполагая, что у нас нанотранзистор и он работает при малых напряжениях. Примером может быть диапазон напряжений от [0В до 1В]. (Не скупитесь на dU, обычно люди берут не менее 100 элементов сетки по напряжению). Итак, в отчете необходимо привести в) используемою сетку напряжений, а затем для неё посчитать: лапласовский потенциал (U L ) и за одно и электрохимические потенциалы истока µ 1 и стока µ 2 – они пригодятся для расчетов функций Ферми. Далее все, что считаем, приводим в виде таблиц и (или) графиков в отчет.

К вопросу расчета Лапласовского потенциала: Заметим, что V (G,D) – в вольтах, энергия в эВ, следовательно заряд q – в единицах и (q = 1) Обычно даются в виде коэффициентов α G, α D Затвор (G) Сток (D) В ряде случаев лапласовский потенциал может быть представлен приближенным выражением, например, К вопросу расчета электрохимических потенциалов - истока µ 1 и стока µ 2 Обычно в схемах с общим истоком µ 1 = 0, а µ 2 = µ 1 - V D

Пояснения к последовательности расчета и сдачи промежуточных результатов. Далее для потенциальной сетки проводим итерационную процедуру расчета U и N Пусть U=0, а dU 1e-6 … end); в цикле считаем функцию Ферми для истока (f 1 ) и стока (f 2 ): заметим, так было только в частном случае: Но с учетом смещения и уширения уровня (для этого мы и считали лапласовский потенциал имеем: Получаем матрицу в зависимости от выбранной ранее сетки энергии ( )

Пояснения к последовательности расчета и сдачи промежуточных результатов. Функцию Ферми считали для того, чтобы посчитать концентрацию носителей зарядов в канале, т.е. N (пока для первого цикла итераций по U, но для всей сетки по энергиям (E): для этого проведем интегрирование (в простейшем случае суммирование по сетке энергий с получением одного единственного значения N, которое скорректируется в итерационном цикле и оптимизированное значение N пойдет для расчета тока I для ВАХ. Но вот так удобнее: Приращение по сетке энергии Суммирование (интегрирование) по сетке энергии

Пояснения к последовательности расчета и сдачи промежуточных результатов. По рассчитанному значению N (для i-го U по сетке потенциала) рассчитываем «итерационный новый U» для проверки сходимости итерационного процесса, например, так: Дается в виде коэффициента или Дается в виде коэффициента Далее рассчитывается критерий прекращения итераций по N, т.е. dU: Считаем новый U, тот который мы приняли в начале итераций равным нулю: Сравниваем dU c k В T и при необходимости запускаем следующий итерационный процесс, при этом скорректируются функции Ферми для последующего расчета тока.

Пояснения к последовательности расчета и сдачи промежуточных результатов. Если сходимость достигнута и посчитано первое значение распределения потенциала внутри канала (первая точка по сетке потенциала), то считаем для его величину тока: или ! И в результате всего этого мы получили лишь 1 току ВАХ передвигаемся на следующую точку по сетке напряжений и повторяем расчет в результате получаем зависимость тока от величины самосогласованного потенциала внутри канала (напряжения стока).

Кулоновская блокада Рассмотрим канал с двумя вырожденными по спину уровнями, содержащий в нейтральном зарядовом состоянии только один электрон (N 0 =1 ). Ожидаемая уширенная плотность состояний:

Кулоновская блокада При определенных условиях вместо одного вырожденного пика плотность состояний расщепляется на две части, соответствующие спину вниз и спину вверх, разделенные одноэлектронной энергией электростатического отталкивания Uo. Что же определяет величину U 0 ? Это составляет ~ эВ, если R = 5 нм, а ε r = 10.