КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Определение. Комплексным числом z называется выражение, где a и b – действительные числа, Определение. Комплексным числом z называется выражение, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица: i – мнимая единица: При этом: При этом: a действительная (a = Re z) a действительная (a = Re z) b- мнимая часть (b = Im z). b- мнимая часть (b = Im z).

Определение. Числа и называются комплексно – сопряженными. Определение. Числа и называются комплексно – сопряженными. Определение. Два комплексных числа и называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части: Определение. Два комплексных числа и называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части: Определение. Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части. Определение. Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.

Геометрическое представление комплексного числа Горизонтальная ось является действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью. у A(a, b) r b a 0 x

Тригонометрическая форма комплексного числа. Из геометрических соображений: Из геометрических соображений: Тогда комплексное число можно представить в виде: Тогда комплексное число можно представить в виде: - тригонометрическая форма записи к. ч. Величина r - модуль комплексного числа, Величина r - модуль комплексного числа, угол наклона - аргумент комплексного числа. Из геометрических соображений: Из геометрических соображений: Для комплексно – сопряженных чисел: Для комплексно – сопряженных чисел:

Действия с комплексными числами. Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами 1) Сложение и вычитание. 1) Сложение и вычитание.

2) Умножение 2) Умножение В тригонометрической форме: В тригонометрической форме: В случае комплексно – сопряженных чисел: В случае комплексно – сопряженных чисел:

3) Деление. 3) Деление. В тригонометрической форме: В тригонометрической форме:

4) Возведение в степень. 4) Возведение в степень. Из операции умножения: В общем случае: где n – целое положительное число. Это выражение называется формулой Муавра

5) Извлечение корня из комплексного числа где к=0, 1, 2, …, n-1 Корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.

Показательная форма комплексного числа Показательная форма комплексного числа. Показательная форма комплексного числа. Все действия с к.ч. в показательной форме выполняются по правилам действий с степенями