Учителя математики МОАУ СОШ с УИОП 10: Ольга Геннадьевна Верещагина, Екатерина Николаевна Токарева, Киров, 2012 год Муниципальное общеобразовательное автономное учреждение «Средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением отдельных предметов 10 им.К.Э.Циолковского» города Кирова

К числу основных геометрических фактов следует отнести теорему о том, что биссектриса делит противолежащую сторону в отношении прилежащих сторон. Это факт остался в тени у более известных теорем и в первую очередь потому, что в большинстве учебников он находится в ряду задач. Но повсеместно встречаются задачи, которые гораздо легче решить, если знать этот и другие факты о биссектрисе. Знание теоретического и практического материала по данной теме может помочь и в дальнейшем ученику средней школы применить свои знания и на уроках геометрии, и при сдаче экзаменов в форме ГИА и ЕГЭ. Реферативный материал может быть использован как дидактическое пособие для уроков геометрии.

1. Условные обозначения Условные обозначения 2. Третье геометрическое место точек Третье геометрическое место точек 3. Основное свойство биссектрисы угла треугольника Основное свойство биссектрисы угла треугольника 4. Точка пересечения биссектрис треугольника Точка пересечения биссектрис треугольника 5. Вычисление длины биссектрисы Вычисление длины биссектрисы 6. Теорема Штейнера-Лемуса Теорема Штейнера-Лемуса 7. Биссектриса внешнего угла Биссектриса внешнего угла 8. Задачи с решениями 1, 2, 3, 4, 5, Задачи для самостоятельной работы Задачи для самостоятельной работы

а, b и с - стороны треугольника ABC; α, β, γ - углы BAC, ABC и ACB; h a, h b, h c - высоты треугольника ABC; L a l b,l c - биссектрисы углов BAC, ABC и ACB; m a, m b,m c - медианы, проведенные к сторонам BC, AC и AB; L 1 L 2,L 3 - точки пересечения биссектрис l a, l b,l c соответственно со сторонами BC, AC и AB; О - центр окружности, описанной около треугольника ABC; I - центр вписанной в треугольник окружности; p- полупериметр треугольника АВС

Понятие геометрического места точек вводится не во всех учебниках. Между тем при решении многих задач весьма полезным оказывается метод геометрических мест. Первое геометрическое место точек, рассматриваемое в геометрии - это окружность, т.е. геометрическое место точек, равноудаленных от одной фиксированной точки. Второе - серединный перпендикуляр отрезка, т.е. геометрическое место точек, равноудаленных от конца отрезка. И, наконец, третье - биссектриса - геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла. Теорема 1. Точки биссектрисы одинаково удалены от сторон угла. Доказательство: Пусть Р - точка биссектрисы угла А. Опустим из точки Р перпендикуляры РВ и РС на стороны угла (см. рис. 1). Δ ВАР = Δ САР по гипотенузе и острому углу РВ = РС. Теорема 2. Если точка Р одинаково удалена от сторон угла А, то она лежит на биссектрисе. Доказательство: РВ = РС ΔВАР = ΔСАР ВАР = САР АР – биссектриса (см. рис. 1). Рис.1 В М Р СNA

Теорема. Биссектриса делит противолежащую сторону треугольника в отношении прилежащих сторон. Доказательство 1: Дано: AL - биссектриса треугольника АВС. Доказать: Пусть F - точка пересечения прямой AL и прямой, проходящей через точку В параллельно стороне АС. BFA = FAC = BAF. Следовательно, ΔBAF равнобедренный и AB = ВF. Из подобия ΔALC и ΔFLB имеем соотношение Доказательство 2: Пусть F - точка пересечения прямой AL и прямой, проходящей через точку С параллельно основанию АВ (см. рис.3). Тогда можно повторить рассуждения. В L F С A В L F С A Рис.2 Рис.3

Доказательство 3: Пусть К и М - основания перпендикуляров, опущенных на прямую AL из точек В и С соответственно ΔABK и ΔACM подобны по двум углам. Поэтому А из подобия ΔBKL и ΔCML имеем Отсюда Доказательство 4: Пусть α= ВАС, φ= ВLA. По теореме синусов в ΔABL Пусть α = F ВАС, φ= ВLA. По теореме синусов в ΔABL, а в ΔACL Так как sin( φ)=sinφ, то, поделив обе части одного равенства на соответствующие части другого, получим Доказательство 5: Применим метод площадей. Вычислим площади ΔABL и ΔACL двумя способами.. В К М СA L В С A L φ Рис.4 Рис.5

Теорема: Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Доказательство: Пусть О - точка пересечения биссектрис АА 1 и ВВ 1 ; D, E и F - основания перпендикуляров, опущенных из точки O на АВ, ВС и АС соответственно. Треугольники AOE и AOF равны по гипотенузе и острому углу, отсюда OE = OF. Аналогично, из равенства треугольников BOF и BOD, получим OF = OD. Следовательно, OE = OD, а значит, равны по гипотенузе и катету треугольники OCD и OCE. Откуда следует, что OCD = OCE, т.е. СО - биссектриса DCE, а это означает, что третья биссектриса проходит через точку пересечения двух первых. Замечание. Из приведенного доказательства следует, что точка пересечения биссектрис одинаково удалена от всех трех сторон треугольника, т. е. является центром вписанной окружности. Окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон называется вневписанной. Точно такими же рассуждениями можно доказать, что точка пересечения биссектрисы внутреннего угла треугольника и биссектрис двух внешних углов - центр вневписанной окружности. СA D F B1B1 Е В Рис.6

Теорема. Каждая биссектриса делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины. Доказательство: Пусть О - точка пересечения биссектрис. АВ = с, ВС = а, АС = b. Тогда ВА 1 +А 1 С=а; Откуда Так как ВО - биссектриса внутреннего угла ΔАВА 1, то Теорема. Пусть О - точка пересечения биссектрис треугольника АВС, АВС = β. Тогда Доказательство: α+β+γ = Рис.7 Рис.8 В СA В А1А1 АС О О

Теорема. Если a, b - стороны треугольника, γ - угол между ними, l c - биссектриса этого угла. Тогда Доказательство: Пусть S, S 1 и S 2 - площади треугольников АВС, САС 1 и СВС 1 соответственно, l c =l. Тогда S = S 1 + S 2, откуда Тогда Рис.9 а В А С С1С1 b

Теорема. Пусть a, b, c - стороны треугольника, l a - биссектриса к стороне а. Тогда Доказательство: Пусть m=BL, n=LC, k=LM. Тогда mn=l a k, Из подобия треугольников ABL и AMC имеем Отсюда, l a 2 =bc-mn,, т.е. l a 2 =bc-l a k. где а 1 = ВА 1, а 2 = А 1 С, l а = АА 1. Доказательство. Рис.10 M В L А С

Теорема. Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник равнобедренный. Доказательство 1: Пусть α > β, AL 1 = BL 2. Тогда 2α > α+β. Отложим от луча BL 2 в ту же полуплоскость, в которой лежит луч ВС, угол α; N – точка пересечения биссектрисы AL 1 с этим лучом. Тогда AN > AL 1. Вокруг четырехугольника AL 2 L 1 B можно описать окружность. В ней α+β < 2α, поэтому AN < BL 2 = AL 1. Противоречие. Аналогично, получим противоречие, предположив α < β. Осталось сделать вывод, что α = β 2α = 2β ВАС = АВС, что и требовалось доказать. В С A L1L1 N L2L2 Рис.11 Доказательство 2: также проводится методом от противного. Пусть α > β. Боковые стороны треугольников BCN и СВМ равны, но у первого угол при вершине больше, чем у второго. Отсюда BN > CM; MD > MC; MCD > MDC, φ > γ, т.е. α+ φ > β+γ, а поэтому ND > NC, BM >CN. Противоречие с условием.

Если точка С лежит внутри отрезка АВ,, то мы говорим, что точка С делит отрезок АВ в отношении λ. К этому можно добавить слова внутренним образом, это означает, что точка С может делить отрезок АВ внешним образом. Пусть точка С лежит на прямой АВ вне отрезка АВ, Будем говорить, что точка С делит отрезок в отношении λ внешним образом. В этих терминах теорему о биссектрисе можно переформулировать так: биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении прилежащих сторон внутренним образом. Оказывается, повторив почти дословно рассуждения, можно доказать и такую теорему: Теорема. Биссектриса внешнего угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении прилежащих сторон внешним образом. Доказательство: Пусть F - точка пересечения продолжения стороны АС треугольника АВС и биссектрисы NBC. Требуется доказать, что. Для доказательства применим, например, метод площадей: Рис. 13 В АС N F

Задача 1. Постройте треугольник по высоте, биссектрисе и медиане одной вершины. Решение. Отложим отрезок СН, равный высоте. На прямой, ему перпендикулярной и проходящей через Н, отметим точки М и L, для которых длина СМ равна медиане, а СL - биссектрисе. Р - точка пересечения CL и прямой, проведенной через М параллельно СН, О - точка пересечения прямой МР и серединного перпендикуляра отрезка СР. Окружность радиуса ОС пересекает МН в точках А и В. Треугольник АВС искомый А С B ML H N O P

Задача 2. В треугольнике АВС проведены биссектрисы AM и BN. Пусть О - точка их пересечения. Известно, что Найдите углы треугольника. Решение: Пусть. Отсюда. По свойству биссектрисы ВО треугольника АВМ имеем По свойству биссектрисы АО треугольника ABN Получим систему: Ответ: 30 0, 60 0, Рис.16 Рис.15 В А С N O ВА С

Задача 3. В треугольнике АВС сторона АС=76 см, B=2π/3, О - центр вписанной окружности. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АСО. Решение: Пусть R - радиус окружности, описанной около треугольника АСО. Тогда Пусть R – радиус окружности, описанной около треугольника АСО. Тогда, 2АС = 2R, R = AC. Ответ: 76 см. Рис.17 Задача 4. Медиана и высота делят угол на три равные части. Найдите углы треугольника. Решение 1: Δ АСН = ΔМСН по катету и острому углу. Поэтому Δ АСМ равнобедренный, АН = НМ. Если АН = а, то НМ = 2 а. По свойству биссектрисы СМ треугольника НСВ имеем CH/CB=a/2a, т.е. СВ = 2СН, СВН = 30 0, ВСН = 60 0, α = 30 0, С = Ответ: 30 0, 60 0, В А С O Рис.18 ВА С НМ

Решение 2: не основано на свойствах биссектрис. Приведем его для полноты изложения. Решение основывается на мастерстве дополнительных построений. Естественным дополнительным построением на рис. 18 выглядит высота MD, опущенная из точки М - середины стороны АВ, на сторону ВС. Из равенства треугольников СМН и CMD следует, что MD = MH = a. Так как МВ = 2 а, то в треугольнике DBM катет, лежащий против угла В, равен половине гипотенузы. Отсюда очевидно следует, что В = 30 0, ВСН = 60 0, α = 30 0, С = 3α = 90 0, А = 90- α = Решение 3: Пусть СН = h. В треугольнике АСН tgα=a/h. А из треугольника ВСН tg2α=3a/h. Отсюда,tg2α=3tgα, По условию α - острый угол, отличный от нуля, поэтому tgα 0 и уравнение сводится к виду 3tg 2 α=1, Рис.19 Рис.20 ВА С НМ D ВА С НМ

Задача 5. Медиана, биссектриса и высота делят угол на четыре равные части. Найдите углы треугольника. Решение: Пусть К - точка пересечения биссектрисы с описанной окружностью, ОК параллельна СН, поэтому НСК = СКМ = α. Отсюда, СМ = МК. В то же время СО = ОК (как радиусы окружности). Поэтому ОСК = МСК. А это означает, что точка М и О совпадают, следовательно, АВ - диаметр. Вписанный угол, который опирается на диаметр равен 90 0, т.е. С = 90 0, α = 22,5 0, В = 22,5 0, угол А = ,5 0 = 67,5 0. Ответ: 22,5 0, 67,5 0, Рис.23 Задача 6. Основания D, E и F высот треугольника АВС последовательно соединены. Докажите, что высоты исходного треугольника АВС являются биссектрисами треугольника DEF. Решение: Пусть Р - точка пересечения высот треугольника АВС. Вокруг четырехугольника AFPE можно описать окружность, так как в нем сумма двух противолежащих углов AFP и РЕА равна Вписанные углы PEF и PAF опираются на одну и ту же дугу, и, поэтому, равны, т.е. BEF= FAD. Аналогично можно показать, что BED= BCF. Углы BAD и BCF равны, так как оба дополняют угол В до прямого. Получили цепочку равенств BEF= BAD= BCF= BED BEF= BED, т.е. прямая BF делит DEF пополам. Аналогично утверждение доказывается и для других углов. Рис.22 В А С F Е P D В НМ A C O

1. В треугольнике АВС сторона АВ вдвое длиннее ВС, BD - биссектриса. Через точку D параллельно ВС проведена прямая, пересекающая АВ в точке Е. В каком отношении точка М пересечения BD и CE делит биссектрису BD? 2. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит противоположный катет на 10 и 8. Чему равна длина второго катета? 3. Вычислите третью сторону и площадь треугольника по двум сторонам и биссектрисе угла между ними. 4. Докажите, что в треугольнике большей стороне соответствует меньшая биссектриса. 5. Выразите через стороны треугольника АВС расстояния от вершин В и С до биссектрисы внутреннего угла А. 6. Вычислите катеты прямоугольного треугольника, зная длину с его гипотенузы и длину биссектрисы одного из острых углов. 7. Найдите угол А треугольника, если заданы стороны а и b и биссектриса l угла между ними. 8. В треугольник со сторонами a, b, c вписан круг. Определите стороны треугольника, вершинами которого служат точки касания вписанной окружности со сторонами вписанной окружности со сторонами данного треугольника. 9. Биссектриса угла А треугольника АВС пересекает описанную около него окружность в точке D. Найдите длину хорды DС, Если центр окружности, вписанной в данный треугольник удален от точки D на расстояние Докажите, что в прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит пополам угол между медианой и высотой, проведенными к гипотенузе. 11. Докажите, что площадь треугольника, вершинами которого являются основания биссектрис его внутренних углов, равна произведению длин этих биссектрис, разделенному на удвоенный периметр. 12. Угол А треугольника АВС вдвое больше угла В. По данным сторонам b и c найдите а. 13. Построить треугольник по точкам пересечения биссектрис его углов с описанной окружностью. 14. Постройте прямоугольный треугольник, зная его гипотенузу и биссектрису острого угла. 15. Докажите, что все три биссектральные плоскости двугранных углов трехгранного угла пересекаются по одной прямой.

1.«Геометрия» для 7-9 классов образовательных учреждений Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.– М., «Просвещение», гг. 2. Дополнительные главы к школьному учебнику «Геометрия» для 8-9 классов, учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучение математики Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.– М., «Просвещение», гг. 3. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗЫ под редакцией М.И. Сканави. – М., «ОНИКС 21 век», «Мир и Образование», 2004 год 4. Дидактические материалы по геометрии для 7-11 классов, Б.Г. Зив, В.М. Мейлер. М.: Просвещение, 2002 г 5. Дальневосточный государственный университет Факультет математики и компьютерных наук Г.К. Пак «Биссектриса», Владивосток, "Геометрия" Погорелов А.В. Учебник для классов средней школы.– М., «Просвещение», 2001 год.