L/O/G/O МЕТОД ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ОКРУЖНОСТИ. Выполнила: ученица 9 класса «В» МОУСОШ 32 Иванова Софья Андрияновна Учитель: Стаханова Полина Александровна.

Цель: исследование метода вспомогательной окружности и его свойств, применение данного метода при решении задач. Методы исследования: 1. Изучение теории по вспомогательной окружности 2. Доказательство признаков задач, которые могут привести к применению вспомогательной окружности 3. Установление связи между методом вспомогательной окружности и решением задач 4. Выполнение практической части.

Вспомогательная окружность - одно из наиболее эстетичных дополнительных построений. Метод вспомогательной окружности заключается в том, что если геометрическая фигура (многоугольник, треугольник, квадрат и т.п.) имеет ряд конкретных признаков, то вокруг неё можно описать окружность, что значительно облегчит решение ряда задач.

Докажем признаки при которых вокруг многоугольников можно описать окружность: Первый признак: Если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то вокруг него можно описать окружность.

Второй признак: Если точки В и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой AD, причём АВD= ACD, то точки A, B, C, D принадлежат одной окружности.

Третий признак: Четырёхугольник можно описать около окружности тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны. a + b = c + d.a + b = c + d.

Углы, связанные с окружностью. Угол с вершиной внутри круга равен полусумме дуг, заключенных между сторонами угла. Угол с вершиной вне круга равен полуразности дуг, заключенных между сторонами угла.

Угол между касательной и хордой, проведенными из одной точки, равен половине дуги, заключенной между ними.

Отрезки, связанные с окружностью. Радиус перпендикулярен хорде тогда и только тогда, когда он проходит через ее середину. Равные хорды стягивают равные дуги.

Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны. Произведения отрезков пересекающихся хорд равны.

Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

Задача 4: Расстояние между основаниями двух высот ВМ и BN ромба ABCD вдвое меньше диагонали BD. Найдите углы ромба. Первый случай: Если угол В - тупой 1. Вокруг ABCD- можно описать окружность. 2. BD- диаметр 3. так как 2MN= BD=> MN=R(где R- радиус). 4.MON-равносторонний Ответ: углы ромба равны 150° и 30°.

Практическая часть: Решение задач с помощью метода вспомогательной окружности. Задача 1: Дан прямоугольный треугольник АВС, С= 90°. На катете ВС выбрана произвольная точка М. Из точки М проведён перпендикуляр МN на гипотенузу АВ. Докажите, что ANC= AMC.

Задача 2: В прямоугольник ABCD вписан равносторонний треугольник АРК так, что вершина К лежит на стороне ВС, а Р- на CD. КН- высота этого треугольника. Докажите, что треугольник ВНС – равносторонний.

А М a b В С 1. Вокруг АВМС можно описать окружность; 3. АМ -диаметр Задача 3: Дан угол α с вершиной в точке А и точка М внутри угла. В и С- основания перпендикуляров, опущенных из точки М на стороны угла. МВ= a, МС= b. Найдите АМ. Задача 3: Дан угол α с вершиной в точке А и точка М внутри угла. В и С- основания перпендикуляров, опущенных из точки М на стороны угла. МВ= a, МС= b. Найдите АМ.

Задача 4: Расстояние между основаниями двух высот ВМ и BN ромба ABCD вдвое меньше диагонали BD. Найдите углы ромба. Первый случай: Если угол В - тупой 1. Вокруг ABCD- можно описать окружность. 2. BD- диаметр 3. так как 2MN= BD=> MN=R(где R- радиус). 4.MON-равносторонний Ответ: углы ромба равны 150° и 30°.

Второй случай: Если угол В – тупой. Второй случай: Если угол В – тупой.

Задача 5: Определить площадь трапеции, у которой длины оснований равны 10 и 26, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам. 1. вокруг ABCD можно описать окружность. 2. AD- диаметр;R=13 3. трапеция равнобедренная, т. к. вокруг неё можно описать окружность. HD= 26-18=8. СН==12 S тр. ==216

Задача 7(теорема о квадрате биссектрисы): Доказать, что квадрат биссектрисы равен разности произведений сторон содержащих её, и отрезков стороны на которые делит биссектриса сторону на которую падает.

R== Задача 8(вспомогательная): Дан треугольник АВС, СС 1 перпендикулярна стороне АВ, АА1 перпендикулярна стороне ВС. Найти чему равен радиус?

Задача 6: ABCD- параллелограмм, точка О лежит внутри параллелограмма, так что угол AOD равен углу OCD. Доказать, что угол СВО равен углу CDO.

Задача 11(задача Брахмагупта): Докажите справедливость формулы для треугольника АВС: b*c=h*2R.

Задача 9: В параллелограмме АВСD проведены высоты ВN и ВМ. Известно, что МN=15, ВD=17. Найти расстояние от точки В до точки Н – точки пересечения высот треугольника ВМN. А В С D N M А В С D N M Н М1М1 N1N1

L/O/G/O Высшее проявление духа – это разум. Высшее проявление разума – это геометрия. Клетка геометрии – треугольник. Он так же неисчерпаем, как и Вселенная. Окружность – душа геометрии. Познайте окружность, и вы не только познаете душу геометрии, но и возвысите душу свою. И.Ф. Шарыгин